Corrigé ESCP-HEC 2026 Maths 2 approfondies ECG — Partie III.A (Q27.a à Q29) : Théorème de Sklar : construction de la copule d'un couple, existence et unicité de la représentation copule, marges d'une loi C(F1, F2)

Soient $-\infty ⩽a<b⩽+\infty$, $-\infty ⩽c<d⩽+\infty$ et $(X,Y)$ un couple tel que $F_X\in {\mathcal{F}}_{(a,b)}$ et $F_Y\in {\mathcal{F}}_{(c,d)}$.

Q27. On définit $C$ sur $[0,1{]}^2$ par $C(x,y)=F_{(X,Y)}(F_X^{-1}(x),F_Y^{-1}(y))$ si $(x,y)\in ]0,1{[}^2$, $C(x,1)=x$, $C(1,y)=y$, et $C(x,y)=0$ dans les autres cas.
Q27.a Montrer que $C(x,y)=\mathbb{P}([F_X(X)⩽x]\cap [F_Y(Y)⩽y])$ pour $(x,y)\in ]0,1{[}^2$, puis pour tout $(x,y)\in [0,1{]}^2$.
Q27.b En déduire que $C$ est 2-croissante sur $[0,1{]}^2$.
Q27.c En déduire que $C$ est une copule.
Q28. Montrer qu'il existe une unique copule $C$ telle que $F_{(X,Y)}(x,y)=C(F_X(x),F_Y(y))$ pour tout $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$ (théorème de Sklar ; $C$ est la représentation copule de $F_{(X,Y)}$). Réciproque admise : si $C$ est une copule et $F_1$, $F_2$ des fonctions de répartition de variables à densité, $(x,y)\mapsto C(F_1(x),F_2(y))$ est la fonction de répartition d'un couple.
Q29. Si $(X_1,X_2)$ a pour fonction de répartition $(x_1,x_2)\mapsto C(F_1(x_1),F_2(x_2))$, avec $C$ copule et $F_1$, $F_2$ comme ci-dessus, montrer que $F_{X_1}=F_1$ et $F_{X_2}=F_2$.