Corrigé ESCP-HEC 2026 Maths 2 approfondies ECG — Partie III.B (Q30 à Q31) : Loi logistique bivariée de Gumbel : marges logistiques à densité et copule uv/(u+v−uv)

Q30. Soit $x\in \mathbb{R}$. D'après Q4.b,

$$F_{Z_1}(x)=\underset{r\to +\infty }{\lim }\frac{1}{1+{\mathrm{e}}^{-x}+{\mathrm{e}}^{-r}}=\frac{1}{1+{\mathrm{e}}^{-x}},$$

puisque ${\mathrm{e}}^{-r}\to 0$ quand $r\to +\infty$ et que $s\mapsto \frac{1}{1+{\mathrm{e}}^{-x}+s}$ est continue en $0$. Notons $L(x)=\frac{1}{1+{\mathrm{e}}^{-x}}$. La fonction $L$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $\mathbb{R}$ (quotient de fonctions de classe ${\mathcal{C}}^1$, à dénominateur strictement positif), en particulier continue : par définition, $Z_1$ est une variable à densité, et une densité est $L^{\prime }$. En dérivant $L=(1+{\mathrm{e}}^{-x}{)}^{-1}$ :