Corrigé ESCP-HEC 2026 Maths 2 approfondies ECG — Préliminaires et Partie I (Q1 à Q8.b) : Fonction de répartition d'un couple : bijection de ]a,b[ sur ]0,1[, limites marginales par limite monotone, 2-croissance, bornes de Fréchet-Hoeffding

Sujet officiel du concours ESCP-HEC, session 2026, épreuve Maths 2 approfondies ECG. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Pour un couple $(X, Y)$ : $F_{(X, Y)} (x, y) = P ([X ⩽ x] \cap [Y ⩽ y])$ . Une fonction $F$ est 2-croissante sur $D$ si, pour $(a_{1}, a_{2}), (b_{1}, b_{2}) \in D$ avec $a_{1} ⩽ b_{1}$ et $a_{2} ⩽ b_{2}$ , on a $F (b_{1}, b_{2}) - F (a_{1}, b_{2}) - F (b_{1}, a_{2}) + F (a_{1}, a_{2}) ⩾ 0$ . Pour $- \infty ⩽ a < b ⩽ + \infty$ , $F_{(a, b)}$ désigne l'ensemble des fonctions continues et croissantes sur $R$ , à valeurs dans $[0, 1]$ , de classe $C^{1}$ et strictement croissantes sur $] a, b [$ , de limite $0$ en $a$ et $1$ en $b$ .

Q1. Pour $g \in F_{(a, b)}$ , montrer que $g$ réalise une bijection de $] a, b [$ sur $] 0, 1 [$ ; on note $g^{- 1}$ sa réciproque.
Q2. Si $X$ a une densité $f$ continue et strictement positive sur $] a, b [$ , nulle ailleurs, montrer que $F_{X} \in F_{(a, b)}$ .
Q3. Montrer que $F_{(X, Y)} (t, y)$ et $F_{(X, Y)} (x, t)$ tendent vers $0$ quand $t \to - \infty$ .
Q4.a Montrer que $F_{X} (x)$ est la probabilité de la réunion sur $n \in N$ des $[X ⩽ x] \cap [Y ⩽ n]$ .
Q4.b En déduire $F_{X} (x) = lim_{r \to + \infty} F_{(X, Y)} (x, r)$ .
Q5. Montrer que $F_{Y} (y) = lim_{t \to + \infty} F_{(X, Y)} (t, y)$ .
Q6. En déduire que les deux limites itérées de $F_{(X, Y)}$ en $(+ \infty, + \infty)$ valent $1$ .
Q7. Montrer que $F_{(X, Y)}$ est 2-croissante.
Q8.a Montrer que $F_{(X, Y)} (x, y) ⩽ min (F_{X} (x), F_{Y} (y))$ .
Q8.b Montrer que $F_{(X, Y)} (x, y) ⩾ max (F_{X} (x) + F_{Y} (y) - 1, 0)$ .

Corrigé

Q1. Soit $g \in F_{(a, b)}$ . Sa restriction à l'intervalle $] a, b [$ est continue et strictement croissante ; par le théorème de la bijection, elle réalise une bijection de $] a, b [$ sur l'intervalle $g (] a, b [)$ , et sa réciproque est continue et strictement croissante. Il reste à identifier $g (] a, b [) =] 0, 1 [$ .

Inclusion $g (] a, b [) \subset] 0, 1 [$ . Soit $x \in] a, b [$ ; choisissons $x^{'} \in] a, x [$ et $x^{''} \in] x, b [$ . Par stricte croissance sur $] a, b [$ et puisque $g$ est à valeurs dans $[0, 1]$ : $0 ⩽ g (x^{'}) < g (x) < g (x^{''}) ⩽ 1$ .
Inclusion $] 0, 1 [\subset g (] a, b [)$ . Soit $y \in] 0, 1 [$ . Comme $g (x) \to 0 < y$ quand $x \to a^{+}$ et $g (x) \to 1 > y$ quand $x \to b^{-}$ (limites en $\mp \infty$ si $a = - \infty$ ou $b = + \infty$ ), il existe $x^{'}, x^{''} \in] a, b [$ tels que $g (x^{'}) < y < g (x^{''})$ ; nécessairement $x^{'} < x^{''}$ (sinon $g (x^{'}) ⩾ g (x^{''})$ par croissance). Le théorème des valeurs intermédiaires, appliqué à $g$ continue sur $[x^{'}, x^{''}]$ , fournit $x \in] x^{'}, x^{''} [\subset] a, b [$ tel que $g (x) = y$ .

Ainsi $g r e ˊ alise une bijection de] a, b [sur] 0, 1 [.$

Deux compléments, utilisés dans tout le problème.

(C1) Si $a$ est fini, $g$ est continue en $a$ , donc $g (a) = lim_{x \to a^{+}} g (x) = 0$ ; comme $g$ est croissante et positive, $g = 0$ sur $] - \infty, a]$ . De même, si $b$ est fini, $g = 1$ sur $[b, + \infty [$ . Dans tous les cas $lim_{- \infty} g = 0$ , $lim_{+ \infty} g = 1$ , et pour tout réel $z$ : $g (z) \in] 0, 1 [⟺ z \in] a, b [$ .
(C2) Pour $u \in] 0, 1 [$ et $z \in R$ : $g (z) ⩽ u ⟺ z ⩽ g^{- 1} (u)$ . En effet, posons $c = g^{- 1} (u) \in] a, b [$ , de sorte que $g (c) = u$ . Si $z ⩽ c$ , $g (z) ⩽ g (c) = u$ par croissance sur $R$ . Si $z > c$ : soit $z < b$ , alors $z \in] a, b [$ et $g (z) > g (c) = u$ par stricte croissance ; soit $z ⩾ b$ ( $b$ fini), alors $g (z) = 1 > u$ par (C1).

De même, $g^{- 1} (u) ⩽ z ⟺ u ⩽ g (z)$ : si $c ⩽ z$ , alors $u = g (c) ⩽ g (z)$ ; si $z < c$ , soit $z ⩽ a$ et $g (z) = 0 < u$ , soit $z \in] a, c [$ et $g (z) < g (c) = u$ .

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