Corrigé ESSEC 2025 Maths 2 appliquées ECG — Partie I (Q1 à Q3.e) : Inégalités exp et ln, racine α de (1+t)e^(−t) = t, couplage d'une Bernoulli et d'une Poisson construites sur une même uniforme

Sujet officiel du concours ESSEC, session 2025, épreuve Maths 2 appliquées ECG. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Le sujet étudie un problème d'arrêt optimal : choisir, parmi des observations reçues une à une, le moment de s'arrêter pour maximiser la probabilité de retenir la plus grande. Pour un événement $A$ , $1_{A}$ vaut $1$ sur $A$ et $0$ sur $A$ . On pose $f (t) = (1 + t) e^{- t} - t$ sur $[0, 1]$ .

Q1. Montrer que $e^{t} ⩾ 1 + t$ pour tout réel $t$ , et que $ln (1 + t) ⩽ t$ pour $t > - 1$ .
Q2.a Étudier $f$ ; montrer qu'il existe un unique $α \in] 0, 1 [$ tel que $f (α) = 0$ , et que $f (t) > 0 ⟺ t < α$ sur $[0, 1]$ .
Q2.b Programme Python donnant $α$ à $1 0^{- 3}$ près.
Q2.c Montrer que $e^{t} ⩽ 1 + 2 t$ sur $[0, 1]$ ; en déduire $α ⩾ \frac{1}{2}$ .

Soit $U ↪ U ([0, 1 [)$ , $p \in] 0, α [$ et $β = f (p)$ . On pose $X = 1_{[β < U ⩽ β + p]}$ et $Y (ω) = min {k \in N / U (ω) ⩽ \sum_{i = 0}^{k} \frac{p ^{i}}{i !} e^{- p}}$ .

Q3.a Écrire minimum(x,p) (ce minimum pour $U (ω)$ remplacé par $x \in [0, 1 [$ ), puis simulY(p).
Q3.b Montrer que $Y ↪ P (p)$ .
Q3.c Pour $k ⩾ 2$ , montrer $[Y = k] \subset [X = 0]$ et en déduire $P ([X = 0] \cap [Y = k]) = \frac{p ^{k}}{k !} e^{- p}$ .
Q3.d Montrer $[X = 0] \cap [Y = 1] = \emptyset$ , puis calculer $P ([X = 1] \cap [Y = 1])$ , $P ([X = 0] \cap [Y = 0])$ , $P ([X = 1] \cap [Y = 0])$ .
Q3.e Montrer que $P (X \neq = Y) = 1 + p - (1 + 2 p) e^{- p} ⩽ 2 p^{2}$ .

Corrigé

Q1. Posons $φ (t) = e^{t} - 1 - t$ sur $R$ ; $φ$ est dérivable et $φ^{'} (t) = e^{t} - 1$ , strictement négatif sur $] - \infty, 0 [$ et strictement positif sur $] 0, + \infty [$ . Donc $φ$ décroît sur $] - \infty, 0]$ , croît sur $[0, + \infty [$ et admet en $0$ son minimum $φ (0) = 0$ :

$\forall t \in R, e^{t} ⩾ 1 + t .$

Soit $t > - 1$ ; appliquons ce résultat au réel $u = ln (1 + t)$ : $1 + t = e^{u} ⩾ 1 + u = 1 + ln (1 + t)$ , soit $ln (1 + t) ⩽ t .$

Remarque. On a aussi $φ (t) > 0$ pour $t \neq = 0$ , puisque $φ$ est strictement monotone de part et d'autre de $0$ ; cette version stricte resservira.

Q2.a $f$ est dérivable sur $[0, 1]$ et

$f^{'} (t) = e^{- t} - (1 + t) e^{- t} - 1 = - t e^{- t} - 1 < 0.$

$f$ est donc continue et strictement décroissante sur $[0, 1]$ , avec $f (0) = 1 > 0$ et $f (1) = \frac{2}{e} - 1 < 0$ (car $e > 2$ ). Par le théorème de la bijection, $f$ réalise une bijection de $[0, 1]$ sur $[\frac{2}{e} - 1, 1]$ , intervalle qui contient $0$ : il existe un unique $α \in [0, 1]$ tel que $f (α) = 0$ , et $α \neq = 0$ , $α \neq = 1$ puisque $f (0) \neq = 0$ et $f (1) \neq = 0$ . Ainsi $α \in] 0, 1 [$ .

Pour $t \in [0, 1]$ , comme $f$ est strictement décroissante, $f (t) > 0 = f (α) ⟺ t < α$ .

Q2.b Par dichotomie sur $[0, 1]$ : d'après Q2.a, $f (m) > 0$ équivaut à $m < α$ , ce qui dit de quel côté garder.


def f(t):
    return (1 + t) * np.exp(-t) - t

def approx_alpha(eps):
    a, b = 0, 1            # invariant : a < alpha < b
    while b - a > 2 * eps:
        m = (a + b) / 2
        if f(m) > 0:       # m < alpha
            a = m
        else:
            b = m
    return (a + b) / 2

print(approx_alpha(1e-3))

L'invariant $a < α < b$ est conservé à chaque tour ; à la sortie $b - a ⩽ 2 \cdot 1 0^{- 3}$ , donc le milieu est à moins de $1 0^{- 3}$ de $α$ . L'exécution affiche 0.8056640625 ; pour mémoire, $α \approx 0, 80647$ .

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