Corrigé ESSEC 2025 Maths 2 appliquées ECG — Partie I (Q4.a à Q5.d) : Inégalité de Boole par l'inégalité de Markov, distance δ entre deux lois sur N majorée par 2P(X ≠ Y)

Q4. Soit $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $B_1,\dots ,B_k$ des événements et $T={\sum }_{i=1}^k{1}_{B_i}$.
Q4.a Montrer que $\mathbb{P}(T⩾1)=\mathbb{P}\left({\bigcup }_{i=1}^k{B}_i\right)$.
Q4.b À l'aide d'une inégalité du cours, énoncée précisément, en déduire $\mathbb{P}\left({\bigcup }_{i=1}^k{B}_i\right)⩽{\sum }_{i=1}^k\mathbb{P}(B_i)$.

Q5. Pour deux variables $X$, $Y$ à valeurs dans $\mathbb{N}$, on pose

$$\delta (X,Y)=\sum _{k=0}^{+\infty }|\mathbb{P}(X=k)-\mathbb{P}(Y=k)|,d(X,Y)=\mathbb{P}(X\ne Y).$$

Q5.a Justifier la convergence de la série définissant $\delta (X,Y)$.
Q5.b Si $\mathbb{P}(X=k)⩾\mathbb{P}(Y=k)$, montrer que $|\mathbb{P}(X=k)-\mathbb{P}(Y=k)|⩽\mathbb{P}([X=k]\cap [Y\ne k])$.
Q5.c En déduire, pour tout $k\in \mathbb{N}$, $|\mathbb{P}(X=k)-\mathbb{P}(Y=k)|⩽\mathbb{P}([X=k]\cap [Y\ne k])+\mathbb{P}([X\ne k]\cap [Y=k])$.
Q5.d Conclure que $\delta (X,Y)⩽2d(X,Y)⩽2$.