Corrigé ESSEC 2025 Maths 2 appliquées ECG — Partie II (Q6 à Q11.d) : Inégalité de Le Cam entre une somme de Bernoulli et une loi de Poisson, approximation de B(n, λ/n) et convergence vers P(ln 2)

Sujet officiel du concours ESSEC, session 2025, épreuve Maths 2 appliquées ECG. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Notations de la partie I. $(U_{k})_{k \in N^{*}}$ est une suite de variables indépendantes de loi $U ([0, 1 [)$ . Soit $n \in N^{*}$ et $p_{1}, \dots, p_{n} \in] 0, 1 [$ ; pour $k \in [[1, n]]$ , $X_{k}$ et $Y_{k}$ sont définies comme $X$ et $Y$ (Q3), avec $U_{k}$ et $p_{k}$ au lieu de $U$ et $p$ . On pose $λ = \sum_{k = 1}^{n} p_{k}$ , $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} X_{k}$ , $T_{n} = \sum_{k = 1}^{n} Y_{k}$ , et l'on veut établir

$δ (S_{n}, T_{n}) ⩽ 4 k = 1 \sum n p_{k}^{2} (L C) .$

Q6. Montrer (LC) si l'un au moins des $p_{k}$ est $⩾ α$ .

Dans la suite de la partie, $p_{k} < α$ pour tout $k$ .

Q7. Justifier que $X_{1}, \dots, X_{n}$ (resp. $Y_{1}, \dots, Y_{n}$ ) sont indépendantes.
Q8. Loi de $T_{n}$ ? Si tous les $p_{k}$ valent $\frac{λ}{n}$ , loi de $S_{n}$ et limite en loi de $(S_{n})$ ?
Q9.a Montrer que $[S_{n} \neq = T_{n}] \subset ⋃_{k = 1}^{n} [X_{k} \neq = Y_{k}]$ .
Q9.b En déduire (LC) pour tout $n \in N^{*}$ .
Q10. Si tous les $p_{k}$ valent $\frac{λ}{n}$ , montrer que $\sum_{k = 0}^{n} (k n) (\frac{λ}{n})^{k} (1 - \frac{λ}{n})^{n - k} - \frac{λ ^{k}}{k !} e^{- λ} ⩽ \frac{4 λ ^{2}}{n}$ .
Q11. Pour $n ⩾ 2$ , on réalise $n$ épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètres $\frac{1}{n + 1}, \dots, \frac{1}{2 n}$ ; $S_{n}$ est le nombre de succès et $s_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{n + k}$ .
Q11.a Montrer que $P (S_{n} = k) - \frac{s _{n}^{k}}{k !} e^{- s_{n}} ⩽ \frac{4}{n}$ pour tout $k \in N$ .
Q11.b Établir $\int_{k}^{k + 1} \frac{d t}{n + t} ⩽ \frac{1}{n + k} ⩽ \int_{k - 1}^{k} \frac{d t}{n + t}$ pour $k \in [[1, n]]$ .
Q11.c En déduire un encadrement de $s_{n}$ , puis $lim s_{n} = ln 2$ .
Q11.d Conclure que $(S_{n})$ converge en loi vers $S ↪ P (ln 2)$ .

Corrigé

Remarque. L'énoncé renvoie à « la question 2 de la partie 1 » : les variables $X$ et $Y$ y sont en fait définies à la question 3. On note $β_{k} = f (p_{k})$ , de sorte que $X_{k} = 1_{[β_{k} < U_{k} ⩽ β_{k} + p_{k}]}$ .

Q6. $S_{n}$ et $T_{n}$ sont des sommes de variables à valeurs dans $N$ , donc à valeurs dans $N$ , et Q5.d donne $δ (S_{n}, T_{n}) ⩽ 2$ . Si $p_{k_{0}} ⩾ α$ pour un indice $k_{0}$ , alors avec Q2.c ( $α ⩾ \frac{1}{2}$ , donc $α^{2} ⩾ \frac{1}{2}$ ) :

$4 k = 1 \sum n p_{k}^{2} ⩾ 4 p_{k_{0}}^{2} ⩾ 4 α^{2} ⩾ 2 ⩾ δ (S_{n}, T_{n}) .$

(LC) est vérifiée.

Q7. Pour chaque $k$ , $X_{k} = 1_{] β_{k}, β_{k} + p_{k}]} (U_{k})$ est une fonction de la seule variable $U_{k}$ , et de même $Y_{k} = ψ_{k} (U_{k})$ où $ψ_{k} (x)$ est le minimum de Q3 pour $x$ et $p_{k}$ . Les variables $U_{1}, \dots, U_{n}$ étant mutuellement indépendantes, le lemme des coalitions (des fonctions de paquets disjoints de variables indépendantes sont indépendantes ; ici chaque paquet est réduit à une variable) montre que $X_{1}, \dots, X_{n}$ sont mutuellement indépendantes, et de même $Y_{1}, \dots, Y_{n}$ .

Q8. La preuve de Q3.b n'utilise ni $β$ ni l'hypothèse $p < α$ : elle donne $Y_{k} ↪ P (p_{k})$ . Les $Y_{k}$ sont indépendantes (Q7) ; par stabilité de la loi de Poisson et récurrence sur le nombre de termes ( $Y_{1} + \dots + Y_{j}$ est indépendante de $Y_{j + 1}$ par le lemme des coalitions),

$T_{n} ↪ P (λ) .$

Supposons tous les $p_{k}$ égaux à $\frac{λ}{n}$ (avec $\frac{λ}{n} < α$ ). Comme $p_{k} < α$ , $β_{k} > 0$ (Q2.a), et $β_{k} + p_{k} = (1 + p_{k}) e^{- p_{k}} ⩽ 1$ (Q1) : l'intervalle $] β_{k}, β_{k} + p_{k}]$ est inclus dans $[0, 1]$ et, $U_{k}$ étant uniforme, $P (X_{k} = 1) = p_{k} = \frac{λ}{n}$ . Les $X_{k}$ sont donc $n$ variables de Bernoulli de paramètre $\frac{λ}{n}$ , indépendantes (Q7) :

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