Corrigé ESSEC 2025 Maths 2 appliquées ECG — Partie IV (Q17.a à Q18.c) : Problème du meilleur choix avec seuil : minoration −θ ln θ, garantie 1/e, simulation dans le cas uniforme

$(X_k{)}_{k\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$ est une suite de variables à densité indépendantes. Pour $s\in \mathbb{R}$ et $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ :

• $a_{n,s}=\min (\{k\in [[1,n]]/X_k>s\}\cup \{n\})$, premier indice dépassant le seuil $s$ (ou $n$ s'il n'y en a pas) ;
• $Y_{n,s}=X_{a_{n,s}}$ (l'observation retenue), $Z_n={\max }_{1⩽k⩽n}{X}_k$ ;
• $K_{n,s}$ est le nombre d'indices $k\in [[1,n]]$ tels que $X_k>s$.

On cherche $s$ maximisant $r_n=\mathbb{P}(Y_{n,s}=Z_n)$. On pose $p_k=\mathbb{P}(X_k>s)$ et l'on suppose $p_k\ne 1$.

Q17.a Montrer que $\mathbb{P}(Y_{n,s}=Z_n)⩾\mathbb{P}(K_{n,s}=1)$.
Q17.b Avec $\theta =\mathbb{P}(Z_n⩽s)$, montrer que $\mathbb{P}(K_{n,s}=1)=\theta {\sum }_{k=1}^n\frac{p_k}{1-p_k}$.
Q17.c En déduire $\mathbb{P}(Y_{n,s}=Z_n)⩾-\theta \ln \theta$.
Q17.d En déduire l'existence d'un $s$, défini à l'aide de la fonction de répartition $F_n$ de $Z_n$, tel que $\mathbb{P}(Y_{n,s}=Z_n)⩾\frac{1}{\mathrm{e}}$.

Désormais les $X_k$ ont même loi : $p$ (non nul), $F$ et $f$ sont la valeur commune des $p_k$, la fonction de répartition et une densité communes.

Q18. Les $X_k$ suivent la loi uniforme sur $[0,1[$.
Q18.a Montrer que $s=1-p$.
Q18.b Écrire simulCouple(n,p) renvoyant une simulation de $(Z_n,Y_{n,s})$.
Q18.c Programme affichant une estimation de $r_{10}$ pour $n=10$ et $p=0,15$.