Corrigé ESSEC 2025 Maths 2 appliquées ECG — Partie IV (Q19.a à Q21) : Formule exacte de la probabilité de choisir le maximum, limite g(λ) quand p = λ/n et seuil optimal np = γ

Sujet officiel du concours ESSEC, session 2025, épreuve Maths 2 appliquées ECG. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Notations de Q17--Q18 : $X_{k}$ indépendantes de même loi, de fonction de répartition $F$ et de densité $f$ ; $p = P (X_{k} > s) \in] 0, 1 [$ ; $r_{n} = P (Y_{n, s} = Z_{n})$ . On admet que si $X$ et $Y$ sont à densité et indépendantes, $P (X ⩽ Y) = \int_{- \infty}^{+ \infty} F_{X} (t) f_{Y} (t) d t$ , et l'on rappelle que $P_{A}$ (pour $P (A) > 0$ ) est une probabilité ayant les mêmes propriétés que $P$ .

Soit $k \in [[1, n]]$ et $I_{1}, \dots, I_{(k n)}$ les parties à $k$ éléments de $[[1, n]]$ . On pose $A_{j} = ⋂_{i \in I_{j}} [X_{i} > s] \cap ⋂_{i \in / I_{j}} [X_{i} ⩽ s]$ .

Q19.a Pour $i \in I_{j}$ , montrer que $P_{A_{j}} (X_{i} ⩽ x) = \frac{F ( x ) - F ( s )}{p}$ si $x > s$ , $0$ sinon, et que les $X_{i}$ , $i \in I_{j}$ , sont indépendantes pour $P_{A_{j}}$ .
Q19.b En déduire, pour $r \in I_{j}$ , $P_{A_{j}} (X_{r} = max_{i \in I_{j}} X_{i}) = \frac{1}{p ^{k}} \int_{s}^{+ \infty} (F (t) - F (s))^{k - 1} f (t) d t = \frac{1}{k}$ .
Q19.c Montrer que $P ([Y_{n, s} = Z_{n}] \cap [K_{n, s} = k]) = \sum_{j} P ([Y_{n, s} = Z_{n}] \cap A_{j})$ et que $P_{A_{j}} (Y_{n, s} = Z_{n}) = \frac{1}{k}$ .
Q19.d Montrer de même que $P ([Y_{n, s} = Z_{n}] \cap [K_{n, s} = 0]) = \frac{1}{n} (1 - p)^{n}$ .
Q19.e En conclure que $r_{n} = \frac{1}{n} (1 - p)^{n} + \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ .
Q20. On suppose $p = \frac{λ}{n}$ , $λ > 0$ fixé.
Q20.a À l'aide de la partie II, montrer que $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} (k n) (\frac{λ}{n})^{k} (1 - \frac{λ}{n})^{n - k} - \frac{λ ^{k}}{k !} e^{- λ} ⩽ \frac{4 λ ^{2}}{n}$ .
Q20.b En déduire que $r_{n} \to (\sum_{k = 1}^{+ \infty} \frac{λ ^{k}}{k ! k}) e^{- λ}$ .
Q21. Pour $n$ grand, $r_{n}$ étant assimilé à cette limite, comment choisir $s$ pour la rendre maximale ?

Corrigé

Préliminaire.

Les $X_{i}$ étant mutuellement indépendantes, on utilise la propriété du cours : pour des intervalles $J_{1}, \dots, J_{n}$ , les événements $[X_{1} \in J_{1}], \dots, [X_{n} \in J_{n}]$ sont mutuellement indépendants. En particulier $P (A_{j}) = p^{k} (1 - p)^{n - k} > 0$ , et $P_{A_{j}}$ est bien définie. Pour $x \in R$ , on note $(F (x) - F (s))^{+}$ le nombre $F (x) - F (s)$ si $x > s$ , et $0$ sinon : c'est $P (s < X_{i} ⩽ x)$ .

Q19.a Soit $i \in I_{j}$ et $x \in R$ . Comme $[X_{i} ⩽ x] \cap [X_{i} > s] = [s < X_{i} ⩽ x]$ ,

$[X_{i} ⩽ x] \cap A_{j} = [s < X_{i} ⩽ x] \cap l \in I_{j}, l \neq = i ⋂ [X_{l} > s] \cap l \in / I_{j} ⋂ [X_{l} ⩽ s],$

d'où, par indépendance, $P ([X_{i} ⩽ x] \cap A_{j}) = (F (x) - F (s))^{+} p^{k - 1} (1 - p)^{n - k}$ et

$P_{A_{j}} (X_{i} ⩽ x) = \frac{( F ( x ) - F ( s ) ) ^{+} p ^{k - 1} ( 1 - p ) ^{n - k}}{p ^{k} ( 1 - p ) ^{n - k}} = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{F ( x ) - F ( s )}{p} 0 si x > s, sinon.$

Notons $G (x)$ cette quantité. Pour des réels $(x_{i})_{i \in I_{j}}$ , le même calcul donne

$P_{A_{j}} (i \in I_{j} ⋂ [X_{i} ⩽ x_{i}]) = \frac{\prod _{i \in I_{j}} ( F ( x _{i} ) - F ( s ) ) ^{+} ( 1 - p ) ^{n - k}}{p ^{k} ( 1 - p ) ^{n - k}} = i \in I_{j} \prod G (x_{i}) = i \in I_{j} \prod P_{A_{j}} (X_{i} ⩽ x_{i}),$

et le même calcul, avec des intervalles quelconques $J_{i}$ à la place des $] - \infty, x_{i}]$ , donne $P_{A_{j}} (⋂_{i \in I_{j}} [X_{i} \in J_{i}]) = \prod_{i \in I_{j}} P_{A_{j}} (X_{i} \in J_{i})$ (chaque facteur vaut $P (X_{i} \in J_{i} \cap] s, + \infty [) / p$ ) : c'est la définition du cours, donc les $X_{i}$ , $i \in I_{j}$ , sont mutuellement indépendantes pour $P_{A_{j}}$ .

Q19.b $G$ est continue sur $R$ ( $F$ l'est, et $G (x) \to 0 = G (s)$ quand $x \to s^{+}$ ), de classe $C^{1}$ sauf en un nombre fini de points : pour $P_{A_{j}}$ , chaque $X_{i}$ ( $i \in I_{j}$ ) est à densité, de densité $g$ égale à $\frac{f}{p}$ sur $] s, + \infty [$ et à $0$ ailleurs.

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