Corrigé ESSEC 2026 Maths 2 appliquées ECG — Résultats généraux (Q1 à Q4) : Inégalité de Boole, convexité de l'exponentielle et lemme de Hoeffding E(e^(tX)) ≤ exp(t²/8)

Q1. Récurrence sur $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Pour $k=1$, il y a égalité. Supposons l'inégalité vraie au rang $k$ et soit $B_1,\dots ,B_{k+1}$ des événements ; posons $C={\bigcup }_{i=1}^k{B}_i$. La formule du crible pour deux événements donne

$$\mathbb{P}\left(\bigcup _{i=1}^{k+1}{B}_i\right)=\mathbb{P}(C\cup B_{k+1})=\mathbb{P}(C)+\mathbb{P}(B_{k+1})-\mathbb{P}(C\cap B_{k+1})⩽\mathbb{P}(C)+\mathbb{P}(B_{k+1}),$$

car une probabilité est positive. L'hypothèse de récurrence majore $\mathbb{P}(C)$ par ${\sum }_{i=1}^k\mathbb{P}(B_i)$, d'où l'inégalité au rang $k+1$. Ainsi, pour tout $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$,

$$\boxed{\mathbb{P}\left(\bigcup _{i=1}^k{B}_i\right)⩽\sum _{i=1}^k\mathbb{P}(B_i).}$$

Ce que le correcteur attend : une récurrence propre fondée sur la formule du crible à deux événements ; les $B_i$ ne sont pas supposés deux à deux incompatibles, et la formule du crible « généralisée » n'est ni nécessaire ni à citer de mémoire.

Q2.a Posons $g(t)=1-\theta +\theta {\mathrm{e}}^t$. Si $\theta <1$, $1-\theta >0$ et $\theta {\mathrm{e}}^t⩾0$ ; si $\theta =1$, $g(t)={\mathrm{e}}^t>0$. Dans tous les cas $g(t)>0$ pour tout réel $t$. La fonction $g$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur $\mathbb{R}$ à valeurs dans $]0,+\infty [$ et $\ln$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur $]0,+\infty [$ : par composition, $\ln \circ g$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur $\mathbb{R}$, et $f$ aussi (somme avec un polynôme). Avec $g^{\prime }(t)=g^{\prime \prime }(t)=\theta {\mathrm{e}}^t$ :