Corrigé ESSEC 2026 Maths 2 appliquées ECG — Résultats généraux (Q5.a à Q7) : Inégalité de Hoeffding par l'inégalité de Markov et intervalle de confiance sans variance

Soit $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ et $X_1,\dots ,X_n$ des variables aléatoires indépendantes, à valeurs dans $[0,1]$, de même espérance $\mu$ ; on pose ${\overline{X}}_n=\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^n{X}_k$. Soit $\epsilon ⩾0$.

Q5.a À l'aide de l'inégalité de Markov, montrer que pour tout $t>0$, $\mathbb{P}({\overline{X}}_n-\mu ⩾\epsilon )⩽\frac{E({\mathrm{e}}^{t({\overline{X}}_n-\mu )})}{{\mathrm{e}}^{t\epsilon }}$, puis que cette probabilité est majorée par ${\mathrm{e}}^{-t\epsilon }{\prod }_{k=1}^{n}E(\exp (\frac{t}{n}(X_k-\mu )))$.
Q5.b En déduire que pour $t⩾0$, $\mathbb{P}({\overline{X}}_n-\mu ⩾\epsilon )⩽\exp (-t\epsilon +\frac{t^2}{8n})$, puis, par un choix de $t$, que $\mathbb{P}({\overline{X}}_n-\mu ⩾\epsilon )⩽\exp (-2n{\epsilon }^2)$ (inégalité de Hoeffding).
Q6. Avec les variables $1-X_k$, montrer que $\mathbb{P}({\overline{X}}_n-\mu ⩽-\epsilon )⩽\exp (-2n{\epsilon }^2)$.
Q7. Soit $\alpha \in ]0,1[$. Si $\mu$ est inconnu et les $X_k$ de même loi, montrer que l'intervalle de centre ${\overline{X}}_n$ et de demi-largeur $\sqrt{\ln (2/\alpha )/(2n)}$ est un intervalle de confiance de $\mu$ au niveau $1-\alpha$.