Corrigé ESSEC 2026 Maths 2 appliquées ECG — Stratégie ETC (Q12 à Q14.b) : Exemple d'exploration, fonction Python Z(m,r,Rec) et concentration des moyennes d'exploration

Notations du modèle : $I_j$, $X_{i,j}\hookrightarrow \mathcal{B}(p_i)$, $Y_j$, $N_{i,j}$, ${\overline{X}}_{i,j}$, ${\hat{X}}_{i,j}$ (voir la partie SQL). Soit $m⩾2$ un entier tel que $rm<n$, et $Z_m$ le plus petit indice $k\in [[1,r]]$ tel que ${\hat{X}}_{k,mr}={\max }_{1⩽i⩽r}{\hat{X}}_{i,mr}$.

Stratégie ETC (Explore Then Commit) : pour $k\in [[1,r]]$ et $j\in [[(k-1)m+1,km]]$, $I_j=k$ (chaque action est jouée $m$ fois, dans l'ordre) ; pour $mr<j⩽n$, $I_j=Z_m$.

Q12. Avec $n=10$, $r=3$, $m=2$, les six premières actions sont $1,1,2,2,3,3$ et les récompenses observées sont $0,1,1,1,0,0,1,0,1,1$. Donner ${\hat{X}}_{1,6}$, ${\hat{X}}_{2,6}$, ${\hat{X}}_{3,6}$, $Z_2$, puis $I_7,\dots ,I_{10}$.
Q13. Écrire Z(m,r,Rec) renvoyant $Z_m$ quand Rec est le vecteur des récompenses des $rm$ premières actions.
Q14. Soit $i\in [[1,r]]$.
Q14.a Que vaut $N_{i,mr}$ ? En déduire ${\hat{X}}_{i,mr}={\overline{X}}_{i,m}$.
Q14.b En déduire, pour $\epsilon ⩾0$, $\mathbb{P}({\hat{X}}_{i,mr}-p_i⩾\epsilon )⩽\exp (-2m{\epsilon }^2)$ et $\mathbb{P}({\hat{X}}_{i,mr}-p_i⩽-\epsilon )⩽\exp (-2m{\epsilon }^2)$.