Corrigé ESSEC 2026 Maths 2 appliquées ECG — Stratégie ETC (Q15.a à Q16.c) : Majoration du nombre de mauvais choix et regret moyen d'ETC en racine de n

Q15.a D'après Q10.a, $E(N_{i,n})={\sum }_{j=1}^n\mathbb{P}(I_j=i)$. On coupe la somme en $j=mr$.

• Pour $j⩽mr$, $I_j$ est constant : $\mathbb{P}(I_j=i)$ vaut $1$ si $j\in [[(i-1)m+1,im]]$ et $0$ sinon. Ces termes totalisent $m$.
• Pour $mr<j⩽n$, $I_j=Z_m$, donc $\mathbb{P}(I_j=i)=\mathbb{P}(Z_m=i)$ ; il y a $n-mr$ tels termes.

Ainsi $\boxed{E(N_{i,n})=m+(n-mr)\mathbb{P}(Z_m=i).}$

Si $Z_m(\omega )=i$, alors ${\hat{X}}_{i,mr}(\omega )={\max }_l{\hat{X}}_{l,mr}(\omega )⩾{\hat{X}}_{s,mr}(\omega )$ : l'inclusion $[Z_m=i]\subset [{\hat{X}}_{i,mr}⩾{\hat{X}}_{s,mr}]$ et la croissance de $\mathbb{P}$ donnent, puisque $n-mr>0$,

$$\boxed{E(N_{i,n})⩽m+(n-mr)\mathbb{P}({\hat{X}}_{i,mr}⩾{\hat{X}}_{s,mr}).}$$

Complément (validité de Q9.c pour ETC). D'après Q14.a, $Z_m$ est une fonction des seules variables $X_{l,q}$, $l\in [[1,r]]$, $q⩽m$. Pour $j⩽mr$, l'événement $[I_j=i]\cap [N_{i,j}=k]$ est certain ou impossible. Pour $j>mr$, il vaut $[Z_m=i]$ si $k=m+(j-mr)$ et $\varnothing$ sinon ; comme alors $k>m$, $X_{i,k}$ ne figure pas parmi les variables dont dépend $Z_m$, et le lemme des coalitions donne l'indépendance de $X_{i,k}$ et de cet événement. Le calcul de Q9.c, donc Q10.b, s'applique bien à ETC.

Q15.b On passe par le complémentaire. Supposons réalisés à la fois $[{\hat{X}}_{i,mr}-p_i<\frac{{\delta }_i}{2}]$ et $[p_s-{\hat{X}}_{s,mr}<\frac{{\delta }_i}{2}]$. Comme $p_i-p_s=-{\delta }_i$,

$${\hat{X}}_{i,mr}-{\hat{X}}_{s,mr}=({\hat{X}}_{i,mr}-p_i)+(p_i-p_s)+(p_s-{\hat{X}}_{s,mr})<\frac{{\delta }_i}{2}-{\delta }_i+\frac{{\delta }_i}{2}=0,$$

donc $[{\hat{X}}_{i,mr}⩾{\hat{X}}_{s,mr}]$ n'est pas réalisé. Par contraposée,