Corrigé ESSEC-HEC 2025 Maths appliquées ECG — Partie 1 — Caractérisation de Kolmogorov (Q8 à Q9.d) : Coefficients positifs des puissances et chemins, puis construction de µ : une matrice ergodique vérifiant (K) est réversible

Sujet officiel du concours ESSEC-HEC, session 2025, épreuve Maths appliquées ECG. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Notations de Q5 à Q7 : $M \in S T_{r}$ , $m_{i, j}^{(n)}$ les coefficients de $M^{n}$ , $θ_{M} (i_{0}, \dots, i_{n}) = \prod_{k = 1}^{n} m_{i_{k - 1}, i_{k}}$ , propriété $(K)$ : $θ_{M} (i_{0}, i_{1}, \dots, i_{n}, i_{0}) = θ_{M} (i_{0}, i_{n}, \dots, i_{1}, i_{0})$ pour tout $n \in N^{*}$ et tous $i_{0}, \dots, i_{n}$ . But : si $M$ est ergodique, $M$ est réversible pour une certaine $μ$ si et seulement si $M$ vérifie $(K)$ .

Q8. Soit $(i, j)$ . Montrer par récurrence sur $s \in N^{*}$ que $m_{i, j}^{(s)} > 0$ si et seulement s'il existe $(i_{0}, \dots, i_{s})$ avec $i_{0} = i$ , $i_{s} = j$ et $θ_{M} (i_{0}, \dots, i_{s}) > 0$ .
Q9. On suppose que $M$ vérifie $(K)$ et que $m_{i, j}^{(σ)} > 0$ pour tout $(i, j)$ , où $σ \in N^{*}$ .
(a) Montrer que pour tout $i$ il existe $(i_{0}, \dots, i_{σ})$ avec $i_{0} = i$ , $i_{σ} = 1$ et $θ_{M} (i_{0}, \dots, i_{σ}) > 0$ . Montrer que si $m_{1, i} > 0$ , alors $θ_{M} (i_{σ}, \dots, i_{0}) > 0$ et $m_{i, 1} > 0$ .
On pose alors $ν_{i} = θ_{M} (i_{σ}, \dots, i_{0}) / θ_{M} (i_{0}, \dots, i_{σ})$ , avec les $i_{k}$ de (a).
(b) Établir $ν_{i} m_{i, j} = ν_{j} m_{j, i}$ pour tout $(i, j)$ , puis, matriciellement, $ν_{i} m_{i, j}^{(σ)} = ν_{j} m_{j, i}^{(σ)}$ .
(c) Montrer qu'il existe $i$ tel que $m_{1, i} > 0$ ; en déduire $ν_{j} > 0$ pour tout $j$ .
(d) Définir $μ$ telle que $M$ soit $μ$ -réversible.

Corrigé

Q8. Pour $s \in N^{*}$ , notons $P (s)$ : « pour tout $(i, j) \in [[1, r]]^{2}$ , $m_{i, j}^{(s)} ⩾ 0$ , et $m_{i, j}^{(s)} > 0$ si et seulement s'il existe $(i_{0}, \dots, i_{s}) \in [[1, r]]^{s + 1}$ tel que $i_{0} = i$ , $i_{s} = j$ et $θ_{M} (i_{0}, \dots, i_{s}) > 0$ ». On ajoute la positivité à l'hypothèse de récurrence, car elle sert dans l'hérédité.

Initialisation ( $s = 1$ ). $m_{i, j}^{(1)} = m_{i, j} ⩾ 0$ car $M \in S T_{r}$ . Les suites $(i_{0}, i_{1})$ avec $i_{0} = i$ , $i_{1} = j$ se réduisent à $(i, j)$ , et $θ_{M} (i, j) = m_{i, j}$ : l'équivalence est immédiate.

Hérédité. Supposons $P (s)$ et soit $(i, j)$ . Puisque $M^{s + 1} = M^{s} M$ ,

$m_{i, j}^{(s + 1)} = k = 1 \sum r m_{i, k}^{(s)} m_{k, j} .$

Chaque terme est un produit de deux réels positifs (hypothèse de récurrence et $M \in S T_{r}$ ) : $m_{i, j}^{(s + 1)} ⩾ 0$ , et cette somme de termes positifs est strictement positive si et seulement si l'un de ses termes l'est, c'est-à-dire s'il existe $k$ avec $m_{i, k}^{(s)} > 0$ et $m_{k, j} > 0$ .

Sens direct. Si $m_{i, k}^{(s)} > 0$ et $m_{k, j} > 0$ , l'hypothèse de récurrence fournit $(i_{0}, \dots, i_{s})$ avec $i_{0} = i$ , $i_{s} = k$ , $θ_{M} (i_{0}, \dots, i_{s}) > 0$ . En posant $i_{s + 1} = j$ , Q5 donne $θ_{M} (i_{0}, \dots, i_{s + 1}) = θ_{M} (i_{0}, \dots, i_{s}) m_{k, j} > 0$ .
Sens réciproque. Si $(i_{0}, \dots, i_{s + 1})$ vérifie $i_{0} = i$ , $i_{s + 1} = j$ et $θ_{M} (i_{0}, \dots, i_{s + 1}) > 0$ , posons $k = i_{s}$ . Ce produit de réels positifs est strictement positif, donc chacun de ses facteurs aussi : $θ_{M} (i_{0}, \dots, i_{s}) > 0$ et $m_{k, j} > 0$ . Par hypothèse de récurrence, $m_{i, k}^{(s)} > 0$ , et le terme d'indice $k$ de la somme est strictement positif.

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