ESSEC-HEC 2025 — Maths appliquées ECG : sujet et corrigé

7 parties corrigées, avec un corrigé rédigé · filière ECG.

• Partie 1 — Réversibilité et exemples (Q1.a à Q4.c) — Matrice stochastique µ-réversible : état stable µM = µ, critère ΔM = ᵗMΔ, exemple à trois états et marche aléatoire sur un graphe (µ proportionnelle aux degrés)
• Partie 1 — Propriété de Kolmogorov (Q5 à Q7.b) — Poids d'un chemin, propriété (K) des circuits, cas r = 3, une matrice réversible vérifie (K)
• Partie 1 — Caractérisation de Kolmogorov (Q8 à Q9.d) — Coefficients positifs des puissances et chemins, puis construction de µ : une matrice ergodique vérifiant (K) est réversible
• Partie 2 — Diagonalisabilité et spectre (Q10.a à Q12.c) — Transposée d'une matrice de transition réversible : semblable à une matrice symétrique donc diagonalisable, valeur propre 1, valeurs propres entre −1 et 1
• Partie 2 — Valeur propre 1 et convergence (Q13.a à Q15.d) — Sous-espace propre de 1 engendré par ᵗµ, −1 non valeur propre, puis convergence en loi de la chaîne ergodique réversible vers µ
• Partie 3 — Opérations élémentaires (Q16 à Q18) — Opérations sur une ligne ou une colonne en Python, invariance de (K) et de l'ergodicité, symétrisation d'un couple de coefficients et connexité du graphe
• Partie 3 — Algorithme de réversibilité (Q19.a à Q21.b) — Symétrisation en r − 1 opérations d'une matrice ergodique vérifiant (K), réciproque, et fonction Python estRev qui teste la réversibilité