Corrigé ESSEC-HEC 2025 Maths appliquées ECG — Partie 1 — Propriété de Kolmogorov (Q5 à Q7.b) : Poids d'un chemin, propriété (K) des circuits, cas r = 3, une matrice réversible vérifie (K)

Sujet officiel du concours ESSEC-HEC, session 2025, épreuve Maths appliquées ECG. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Notations de Q1 à Q4 : $M = (m_{i, j}) \in S T_{r}$ , $μ$ ligne à coefficients strictement positifs de somme $1$ , $μ$ -réversibilité : $μ_{i} m_{i, j} = μ_{j} m_{j, i}$ pour tout $(i, j)$ . On note $m_{i, j}^{(n)}$ les coefficients de $M^{n}$ ; $M$ est dite ergodique s'il existe $σ \in N^{*}$ tel que $m_{i, j}^{(σ)} > 0$ pour tout $(i, j)$ . Pour $n \in N^{*}$ et $(i_{0}, \dots, i_{n}) \in [[1, r]]^{n + 1}$ , on pose

$θ_{M} (i_{0}, \dots, i_{n}) = k = 1 \prod n m_{i_{k - 1}, i_{k}}, en particulier θ_{M} (i, j) = m_{i, j} .$

$M$ vérifie la propriété $(K)$ si, pour tout $n \in N^{*}$ et tous $i_{0}, \dots, i_{n}$ dans $[[1, r]]$ ,

$θ_{M} (i_{0}, i_{1}, \dots, i_{n}, i_{0}) = θ_{M} (i_{0}, i_{n}, \dots, i_{1}, i_{0}) .$

On admet qu'il suffit de vérifier $(K)$ lorsque $n ⩾ 2$ et que $i_{0}, \dots, i_{n}$ sont deux à deux distincts.

Q5. Pour $n, s \in N^{*}$ et $i_{n} = j_{0}$ , montrer que $θ_{M} (i_{0}, \dots, i_{n}) θ_{M} (j_{0}, \dots, j_{s}) = θ_{M} (i_{0}, \dots, i_{n}, j_{1}, \dots, j_{s})$ .
Q6. Pour $r = 3$ , montrer que $M$ vérifie $(K)$ si et seulement si $m_{1, 2} m_{2, 3} m_{3, 1} = m_{1, 3} m_{3, 2} m_{2, 1}$ . Montrer que la matrice $P$ de Q3 vérifie $(K)$ .
Q7. On suppose $M$ $μ$ -réversible.
(a) Montrer que $(\prod_{k = 1}^{n} μ_{i_{k - 1}}) θ_{M} (i_{0}, \dots, i_{n}) = (\prod_{k = 1}^{n} μ_{i_{k}}) θ_{M} (i_{n}, \dots, i_{0})$ .
(b) En déduire que $M$ vérifie $(K)$ .

Corrigé

Le nombre $θ_{M} (i_{0}, \dots, i_{n})$ est le produit des coefficients rencontrés le long du chemin $i_{0} \to i_{1} \to \dots \to i_{n}$ ; pour une matrice de transition, c'est la probabilité, partant de $i_{0}$ , de suivre exactement ce chemin. La propriété $(K)$ dit qu'un circuit fermé a le même poids parcouru dans un sens ou dans l'autre.

Q5. Notons $(ℓ_{0}, \dots, ℓ_{n + s}) = (i_{0}, \dots, i_{n}, j_{1}, \dots, j_{s})$ , c'est-à-dire $ℓ_{k} = i_{k}$ pour $0 ⩽ k ⩽ n$ et $ℓ_{n + k} = j_{k}$ pour $1 ⩽ k ⩽ s$ . Comme $i_{n} = j_{0}$ , on a aussi $ℓ_{n + k} = j_{k}$ pour $k = 0$ . Par définition,

$θ_{M} (ℓ_{0}, \dots, ℓ_{n + s}) = k = 1 \prod n + s m_{ℓ_{k - 1}, ℓ_{k}} = k = 1 \prod n m_{ℓ_{k - 1}, ℓ_{k}} \times k = n + 1 \prod n + s m_{ℓ_{k - 1}, ℓ_{k}} .$

Le premier produit vaut $\prod_{k = 1}^{n} m_{i_{k - 1}, i_{k}} = θ_{M} (i_{0}, \dots, i_{n})$ . Dans le second, on pose $k = n + h$ avec $1 ⩽ h ⩽ s$ : $ℓ_{k - 1} = ℓ_{n + h - 1} = j_{h - 1}$ (y compris pour $h = 1$ , où $ℓ_{n} = i_{n} = j_{0}$ ) et $ℓ_{k} = j_{h}$ , d'où $\prod_{h = 1}^{s} m_{j_{h - 1}, j_{h}} = θ_{M} (j_{0}, \dots, j_{s})$ . Ainsi

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