Corrigé ESSEC-HEC 2025 Maths appliquées ECG — Partie 2 — Diagonalisabilité et spectre (Q10.a à Q12.c) : Transposée d'une matrice de transition réversible : semblable à une matrice symétrique donc diagonalisable, valeur propre 1, valeurs propres entre −1 et 1

Notations de la partie 1 (seules Q1 et Q2 servent). La matrice de transition $P=(p_{i,j})$ de la chaîne $(X_n)$ est $\mu$-réversible : ${\mu }_i{p}_{i,j}={\mu }_j{p}_{j,i}$, avec $\mu$ ligne à coefficients strictement positifs de somme $1$. On note $Q={}^{t}P$, de coefficients $q_{i,j}=p_{j,i}$, et $\Delta$ la matrice diagonale de coefficients diagonaux ${\mu }_1,\dots ,{\mu }_r$. On admet que ${}^t(ZM)={}^{t}M{}^{t}Z$ pour $M\in {\mathcal{M}}_r(\mathbb{R})$ et $Z\in {\mathcal{M}}_{1,r}(\mathbb{R})$.

Q10. (a) Trouver une matrice diagonale inversible $D$ telle que $D^2=\Delta$. (b) À l'aide de Q1.c, montrer que $D^{-1}QD$ est diagonalisable. (c) En conclure que $Q$ est diagonalisable.
Q11. Montrer que $Q{}^t\mu ={}^t\mu$. Que peut-on en déduire pour $\mathrm{Sp}(Q)$ ?
Q12. Soit $\lambda$ une valeur propre de $Q$ et $Y={}^t(y_1\cdots y_r)$ un vecteur propre associé.
(a) Montrer que ${\sum }_{i=1}^r({\sum }_{j=1}^r{q}_{i,j}|y_j|)={\sum }_{j=1}^r|y_j|$.
(b) En déduire que $|\lambda |{\sum }_{i=1}^r|y_i|⩽{\sum }_{i=1}^r|y_i|$.
(c) En conclure que $\mathrm{Sp}(Q)\subset [-1,1]$.