Corrigé ESSEC-HEC 2025 Maths appliquées ECG — Partie 2 — Valeur propre 1 et convergence (Q13.a à Q15.d) : Sous-espace propre de 1 engendré par ᵗµ, −1 non valeur propre, puis convergence en loi de la chaîne ergodique réversible vers µ

Sujet officiel du concours ESSEC-HEC, session 2025, épreuve Maths appliquées ECG. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Notations de Q10 à Q12 : $P$ est $μ$ -réversible, $Q =^{t} P$ de coefficients $q_{i, j} = p_{j, i}$ , $Q^{t} μ =^{t} μ$ (Q11), $Sp (Q) \subset [- 1, 1]$ (Q12), et $E_{1} (Q)$ est le sous-espace propre de $Q$ associé à $1$ .

Q13. On suppose ici tous les coefficients de $P$ strictement positifs.
(a) Soit $Y =^{t} (y_{1} \dots y_{r})$ un vecteur propre de $Q$ pour $1$ , avec $y_{k} > 0$ . Si l'on suppose $y_{ℓ} < 0$ pour un $ℓ$ , montrer que $y_{k} < \sum_{j} q_{k, j} ∣ y_{j} ∣$ , puis que $\sum_{i} ∣ y_{i} ∣ < \sum_{i} ∣ y_{i} ∣$ . Conclusion ?
(b) En déduire que les composantes d'un vecteur propre de $Q$ pour $1$ sont toutes positives ou toutes négatives. Que dire d'un élément de $E_{1} (Q)$ de somme des composantes nulle ?
(c) Montrer qu'un vecteur propre $Y$ pour $1$ vérifie $Y = (\sum_{i} y_{i})^{t} μ$ ; en conclure $E_{1} (Q) = Vect (^{t} μ)$ .
(d) Si $Q Y = - Y$ , montrer que $\sum_{i} y_{i} = 0$ ; montrer par l'absurde que $- 1$ n'est pas valeur propre de $Q$ .
Désormais $P$ est ergodique : $p_{i, j}^{(u)} > 0$ pour tout $(i, j)$ , avec $u \in N^{*}$ fixé. On admet (Q13 appliquée à $P^{u}$ ) que $Sp (Q^{u}) \subset] - 1, 1]$ et $E_{1} (Q^{u}) = Vect (^{t} μ)$ .
Q14. (a) Montrer que $E_{1} (Q) = Vect (^{t} μ)$ . (b) En distinguant $u$ pair et $u$ impair, montrer par l'absurde que $- 1 \in / Sp (Q)$ .
Q15. $Q$ est semblable à la matrice diagonale de coefficients $λ_{1} = 1$ et $λ_{2}, \dots, λ_{r} \in] - 1, 1 [$ , avec une base associée de vecteurs propres $(^{t} μ, Y_{2}, \dots, Y_{r})$ . On note $L_{n} = (P (X_{n} = 1) \dots P (X_{n} = r))$ .
(a) Établir $L_{n + 1} = L_{n} P$ , puis $L_{n} = L_{0} P^{n}$ .
(b) Montrer qu'il existe $(α_{1}, \dots, α_{r})$ tel que $L_{n} = α_{1} μ + \sum_{k = 2}^{r} α_{k} λ_{k}^{n}^{t} Y_{k}$ pour tout $n$ .
(c) En déduire $lim_{n \to + \infty} P (X_{n} = j) = α_{1} μ_{j}$ .
(d) Montrer que $α_{1} = 1$ ; conclure que $(X_{n})$ converge en loi vers une variable $X$ telle que $P (X = j) = μ_{j}$ .

Corrigé

Q13.a. Ici $q_{i, j} = p_{j, i} > 0$ pour tout $(i, j)$ . La ligne $k$ de $Q Y = Y$ donne $y_{k} = \sum_{j = 1}^{r} q_{k, j} y_{j}$ . Pour tout $j$ , $q_{k, j} y_{j} ⩽ q_{k, j} ∣ y_{j} ∣$ ; pour $j = ℓ$ , l'inégalité est stricte, car $q_{k, ℓ} > 0$ et $y_{ℓ} < 0 < ∣ y_{ℓ} ∣$ . En sommant,

$y_{k} = j = 1 \sum r q_{k, j} y_{j} < j = 1 \sum r q_{k, j} ∣ y_{j} ∣.$

Comme $y_{k} > 0$ , cela s'écrit $∣ y_{k} ∣ < \sum_{j} q_{k, j} ∣ y_{j} ∣$ . Pour $i \neq = k$ , la ligne $i$ et l'inégalité triangulaire donnent $∣ y_{i} ∣ = \sum_{j} q_{i, j} y_{j} ⩽ \sum_{j} q_{i, j} ∣ y_{j} ∣$ . En sommant ces $r$ inégalités, dont une stricte, et avec Q12.a :

$i = 1 \sum r ∣ y_{i} ∣ < i = 1 \sum r j = 1 \sum r q_{i, j} ∣ y_{j} ∣ = j = 1 \sum r ∣ y_{j} ∣,$

ce qui est absurde. Conclusion : si un vecteur propre de $Q$ pour la valeur propre $1$ a une composante strictement positive, alors $toutes ses composantes sont positives.$

Q13.b. Soit $Y$ un vecteur propre pour $1$ . Si l'une de ses composantes est strictement positive, toutes sont positives par Q13.a. Sinon, toutes sont négatives. Dans les deux cas, $les composantes de Y sont toutes de m e ˆ me signe (au sens large).$

Soit $Y \in E_{1} (Q)$ tel que $\sum_{i} y_{i} = 0$ . Si $Y \neq = 0$ , c'est un vecteur propre ; ses composantes sont toutes positives (ou toutes négatives), de somme nulle, donc toutes nulles : contradiction. Donc $Y = 0.$

Q13.c. Soit $Y$ un vecteur propre pour $1$ et $s = \sum_{i = 1}^{r} y_{i}$ . Posons $Z = Y - s^{t} μ$ . Comme $E_{1} (Q)$ est un sous-espace vectoriel contenant $Y$ et $^{t} μ$ (Q11), $Z \in E_{1} (Q)$ . La somme de ses composantes vaut $s - s \sum_{i} μ_{i} = s - s = 0$ . Par Q13.b, $Z = 0$ :

$Y = (i = 1 \sum r y_{i})^{t} μ .$

Ainsi tout élément non nul de $E_{1} (Q)$ appartient à $Vect (^{t} μ)$ , et $0$ aussi : $E_{1} (Q) \subset Vect (^{t} μ)$ . Réciproquement $^{t} μ \in E_{1} (Q)$ (Q11), et $E_{1} (Q)$ est stable par combinaison linéaire. Donc $E_{1} (Q) = Vect (^{t} μ)$ , de dimension $1$ .

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