Corrigé ESSEC-HEC 2025 Maths approfondies ECG — Partie I (Q1 à Q7) : Application adjointe : représentation des formes linéaires, matrice transposée, Im(u) = ker(u)⊥, ker(u∘u) = ker(u)

Sujet officiel du concours ESSEC-HEC, session 2025, épreuve Maths approfondies ECG. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Notations générales du problème : $n, m, p \in N^{*}$ avec $n ⩾ 4$ et $n ⩾ p$ , $A \in M_{n, p} (R)$ , $B \in M_{m, p} (R)$ , $M =^{t} AA \in M_{p} (R)$ ; $M_{k, 1} (R)$ est muni du produit scalaire canonique $⟨ X, Y ⟩ =^{t} X Y$ et de la norme associée. Pour $A \in M_{n, p} (R)$ , $ker (A) = {X ∣ A X = 0}$ et $Im (A) = {A X ∣ X \in M_{p, 1} (R)}$ .

Dans la partie I, $E$ et $F$ sont deux espaces euclidiens de dimensions $p$ et $n$ , munis de bases orthonormées $B_{E} = (e_{1}, \dots, e_{p})$ et $B_{F} = (f_{1}, \dots, f_{n})$ , et $u \in L (E, F)$ a pour matrice $A$ dans ces bases.

Q1. Pour $ℓ \in L (E, R)$ , montrer qu'il existe un unique $a_{0} \in E$ tel que $ℓ (x) = ⟨ a_{0}, x ⟩_{E}$ pour tout $x \in E$ .
Q2. En déduire que pour tout $y \in F$ il existe un unique $z_{y} \in E$ tel que $⟨ u (x), y ⟩_{F} = ⟨ z_{y}, x ⟩_{E}$ pour tout $x \in E$ .
Q3. Montrer que $u^{*} : y \mapsto z_{y}$ est linéaire (c'est l'adjointe de $u$ : $⟨ u (x), y ⟩_{F} = ⟨ x, u^{*} (y) ⟩_{E}$ , relation (1)).
Q4. Montrer que $Mat_{B_{E}, B_{F}} (u^{*}) =^{t} A$ , puis $rg (u^{*}) = rg (u)$ et $(u^{*})^{*} = u$ .
Q5. Montrer que $Im (u^{*}) = ker (u)^{⊥}$ .
Q6. Montrer que $ker (u^{*} \circ u) = ker (u)$ , puis que $Im (u^{*} \circ u) = Im (u^{*})$ .
Q7. Montrer que $w : Im (u^{*}) \to Im (u^{*})$ , $x \mapsto u^{*} \circ u (x)$ , est un isomorphisme ; interprétation matricielle.

Corrigé

Q1. Existence. Posons $a_{0} = \sum_{i = 1}^{p} ℓ (e_{i}) e_{i} \in E$ . Soit $x \in E$ ; comme $B_{E}$ est orthonormée, $x = \sum_{i = 1}^{p} x_{i} e_{i}$ avec $x_{i} = ⟨ x, e_{i} ⟩_{E}$ , et

$⟨ a_{0}, x ⟩_{E} = ⟨ i = 1 \sum p ℓ (e_{i}) e_{i}, j = 1 \sum p x_{j} e_{j} ⟩_{E} = i = 1 \sum p j = 1 \sum p ℓ (e_{i}) x_{j} ⟨ e_{i}, e_{j} ⟩_{E} = i = 1 \sum p ℓ (e_{i}) x_{i} = ℓ (i = 1 \sum p x_{i} e_{i}) = ℓ (x),$

par bilinéarité du produit scalaire, puis $⟨ e_{i}, e_{j} ⟩_{E} = δ_{i, j}$ , puis linéarité de $ℓ$ .

Unicité. Si $a_{0}$ et $a_{1}$ conviennent, alors $⟨ a_{0} - a_{1}, x ⟩_{E} = ℓ (x) - ℓ (x) = 0$ pour tout $x \in E$ ; avec $x = a_{0} - a_{1}$ on obtient $∥ a_{0} - a_{1} ∥_{E}^{2} = 0$ , donc $a_{0} = a_{1}$ (le produit scalaire est défini positif).

$\exists! a_{0} \in E, \forall x \in E, ℓ (x) = ⟨ a_{0}, x ⟩_{E} .$

Ce que le correcteur attend : une existence réellement établie (vecteur explicite, ou argument de dimension : $a \mapsto ⟨ a, \cdot ⟩_{E}$ est linéaire injective de $E$ dans $L (E, R)$ , deux espaces de même dimension $p$ , donc bijective). Montrer l'unicité seule ne suffit pas.

Q2. Soit $y \in F$ . L'application $ℓ_{y} : x \mapsto ⟨ u (x), y ⟩_{F}$ va de $E$ dans $R$ et elle est linéaire : pour $x, x^{'} \in E$ et $λ \in R$ , $ℓ_{y} (x + λ x^{'}) = ⟨ u (x) + λ u (x^{'}), y ⟩_{F} = ℓ_{y} (x) + λ ℓ_{y} (x^{'})$ , par linéarité de $u$ puis linéarité à gauche du produit scalaire. Q1 appliquée à $ℓ_{y}$ fournit un unique $z_{y} \in E$ tel que $ℓ_{y} (x) = ⟨ z_{y}, x ⟩_{E}$ pour tout $x$ , c'est-à-dire

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