ESSEC-HEC 2025 — Maths approfondies ECG : sujet et corrigé

8 parties corrigées, avec un corrigé rédigé · filière ECG.

• Partie I (Q1 à Q7) — Application adjointe : représentation des formes linéaires, matrice transposée, Im(u) = ker(u)⊥, ker(u∘u) = ker(u)
• Partie I (Q8.a à Q11) — Projecteur orthogonal sur Im(A) : trace égale au rang, inversibilité de tAA et formule Q = A M⁻¹ tA, en Python
• Partie II (Q12 à Q15.c) — Moindres carrés : minimum global de J0 ssi tAAX = tAY, solution de norme minimale dans ker(A)⊥
• Partie II (Q16.a à Q16.d) — Bruit gaussien : T = tZQZ, simulation Python de T et conjecture E(T) = pσ²
• Partie II (Q16.e à Q16.i) — Moments de la loi normale, E(T) = pσ², V(T) = 2pσ⁴ et inégalité de Bienaymé-Tchebychev
• Partie III (Q17 à Q19.e) — Fonction non différentiable J : dérivée de la norme, conditions nécessaires de minimum selon que BX0 est nul ou non
• Partie III (Q20.a à Q22) — Inégalité de convexité de la norme et caractérisation du minimum global de J par −D(X0) ∈ N(X0)
• Partie III (Q23.a à Q23.d.iii) — Cas A = I et B diagonale : équation F(λ) = 0, solution explicite X0 et calcul par dichotomie en Python