Corrigé ESSEC-HEC 2025 Maths approfondies ECG — Partie II (Q16.e à Q16.i) : Moments de la loi normale, E(T) = pσ², V(T) = 2pσ⁴ et inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Sujet officiel du concours ESSEC-HEC, session 2025, épreuve Maths approfondies ECG. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Mêmes hypothèses : $rg (A) = p$ , $z_{1}, \dots, z_{n}$ indépendantes de loi $N (0, σ^{2})$ avec $σ > 0$ , $Q = A M^{- 1}^{t} A$ et $T =^{t} Z QZ$ (Q16(a)).

Q16.e. Exprimer $E (z_{1}^{2})$ , $E (z_{1}^{3})$ et $E (z_{1}^{4})$ en fonction de $σ$ .
Q16.f. Montrer que $T = T_{1} + 2 T_{2}$ avec $T_{1} = \sum_{i = 1}^{n} Q_{i, i} z_{i}^{2}$ et $T_{2} = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = i + 1}^{n} Q_{i, j} z_{i} z_{j}$ ; en déduire $E (T)$ et vérifier les conjectures.
Q16.g. Montrer que $E (T_{1} T_{2}) = 0$ .
Q16.h. Avec $q = \sum_{k = 1}^{n} Q_{k, k}^{2}$ , montrer que $E (T_{1}^{2}) = σ^{4} (2 q + p^{2})$ et $E (T_{2}^{2}) = \frac{σ ^{4}}{2} (p - q)$ .
Q16.i. En déduire que $V (T) = 2 p σ^{4}$ , puis que $P (T > (1 + α) p σ^{2}) ⩽ \frac{2}{p α ^{2}}$ pour tout $α > 0$ .

Corrigé

Q16.e. Par la propriété « centrer et réduire », $N = z_{1} / σ$ suit la loi $N (0, 1)$ , de densité $φ (t) = \frac{1}{2 π} e^{- t^{2} /2}$ . Pour tout $k \in N$ , $t^{k} φ (t) = o (1/ t^{2})$ en $\pm \infty$ (croissances comparées), donc $\int_{- \infty}^{+ \infty} ∣ t ∣^{k} φ (t) d t$ converge : $N$ admet des moments de tous ordres (théorème de transfert).

Ordre 2. $E (z_{1}^{2}) = V (z_{1}) + E (z_{1})^{2} = σ^{2} + 0$ .

Ordre 3. $t \mapsto t^{3} φ (t)$ est impaire et son intégrale sur $R$ converge absolument, donc $E (N^{3}) = 0$ et $E (z_{1}^{3}) = σ^{3} E (N^{3}) = 0$ .

Ordre 4. Comme $φ^{'} (t) = - tφ (t)$ , une intégration par parties sur $[- x, x]$ (fonctions de classe $C^{1}$ ) avec $u (t) = t^{3}$ , $v (t) = - φ (t)$ donne

$\int_{- x}^{x} t^{4} φ (t) d t = \int_{- x}^{x} t^{3} \cdot tφ (t) d t = [- t^{3} φ (t)]_{- x}^{x} + 3 \int_{- x}^{x} t^{2} φ (t) d t = - 2 x^{3} φ (x) + 3 \int_{- x}^{x} t^{2} φ (t) d t .$

Quand $x \to + \infty$ , $x^{3} φ (x) \to 0$ et l'intégrale tend vers $E (N^{2}) = 1$ : $E (N^{4}) = 3$ , puis $E (z_{1}^{4}) = σ^{4} E (N^{4})$ .

$E (z_{1}^{2}) = σ^{2}, E (z_{1}^{3}) = 0, E (z_{1}^{4}) = 3 σ^{4} .$

Les $z_{i}$ ayant même loi, ces formules valent pour chaque $z_{i}$ ; de plus $E (z_{i}) = 0$ .

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