Corrigé ESSEC-HEC 2025 Maths approfondies ECG — Partie III (Q17 à Q19.e) : Fonction non différentiable J : dérivée de la norme, conditions nécessaires de minimum selon que BX0 est nul ou non

Lecture de $\mathcal{N}(X)$.

Si $BX\ne 0$, la condition $\Vert BX\Vert V=BX$ impose $V=\frac{BX}{\Vert BX\Vert }$ (de norme $1$), donc $\mathcal{N}(X)=\left\{{}^{t}B\frac{BX}{\Vert BX\Vert }\right\}$ est un singleton. Si $BX=0$, la condition est vide et $\mathcal{N}(X)=\{{}^{t}BV\mid \Vert V\Vert ⩽1\}$. La fonction $\Vert B\cdot \Vert$ n'est pas différentiable aux points où $BX=0$ : d'où les deux cas Q18 et Q19.

Q17. Soit $t\ne 0$. Par bilinéarité, $\Vert u+tv{\Vert }^2=\Vert u{\Vert }^2+2t⟨u,v⟩+t^2\Vert v{\Vert }^2$. Comme $\Vert u+tv\Vert +\Vert u\Vert ⩾\Vert u\Vert >0$, on peut multiplier par la quantité conjuguée :

$$\frac{\Vert u+tv\Vert -\Vert u\Vert }{t}=\frac{\Vert u+tv{\Vert }^2-\Vert u{\Vert }^2}{t(\Vert u+tv\Vert +\Vert u\Vert )}=\frac{2⟨u,v⟩+t\Vert v{\Vert }^2}{\Vert u+tv\Vert +\Vert u\Vert }.$$

La fonction $t\mapsto \Vert u+tv\Vert =\sqrt{\Vert u{\Vert }^2+2t⟨u,v⟩+t^2\Vert v{\Vert }^2}$ est continue en $0$ (composée d'un polynôme et de la racine carrée), de valeur $\Vert u\Vert$. Le numérateur tend vers $2⟨u,v⟩$, le dénominateur vers $2\Vert u\Vert \ne 0$ :

$$\boxed{\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\Vert u+tv\Vert -\Vert u\Vert }{t}=\frac{⟨u,v⟩}{\Vert u\Vert }.}$$

Le calcul n'utilise que le produit scalaire canonique : il vaut dans ${\mathbb{R}}^m={\mathcal{M}}_{m,1}(\mathbb{R})$ pour tout $m$, ce qui sert en Q18.