Corrigé ESSEC-HEC 2025 Maths approfondies ECG — Partie II (Q12 à Q15.c) : Moindres carrés : minimum global de J0 ssi tAAX = tAY, solution de norme minimale dans ker(A)⊥

$Y\in {\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})$ est fixé, $M={}^{t}AA$, $D(X)=MX-{}^{t}AY$, et $J_0(X)=\frac{1}{2}\Vert AX-Y{\Vert }^2$ pour $X\in {\mathcal{M}}_{p,1}(\mathbb{R})$. $Q$ est la matrice du projecteur orthogonal sur $\mathrm{Im}(A)$ (Q8). « $X$ réalise un minimum global de $G$ » signifie que $G(X)$ est le minimum de $G$.

Q12. Montrer que $J_0(X+H)-J_0(X)=⟨D(X),H⟩+\frac{1}{2}{}^{t}HMH$ pour tous $X,H$ (relation (2)).
Q13. Montrer que $J_0$ possède un minimum global en $X$ si et seulement si $D(X)=0$. On note ${\mathbb{S}}_0=\{X\mid D(X)=0\}$.
Q14. Montrer qu'il existe $X_0\in \ker (A{)}^{\perp }$ tel que ${\mathbb{S}}_0\cap \ker (A{)}^{\perp }=\{X_0\}$.
Q15. Soit $X\in {\mathbb{S}}_0$.
(a) Justifier que $AX=QY$ (relation (3)).
(b) Montrer que $X-X_0\in \ker (A)$, puis que $\Vert X\Vert >\Vert X_0\Vert$ si $X\ne X_0$.
(c) Si $\mathrm{rg}(A)=p$, montrer que ${\mathbb{S}}_0=\{M^{-1}{}^{t}AY\}$ (relation (4)).