Corrigé ESSEC-HEC 2025 Maths approfondies ECG — Partie II (Q16.a à Q16.d) : Bruit gaussien : T = tZQZ, simulation Python de T et conjecture E(T) = pσ²

Sujet officiel du concours ESSEC-HEC, session 2025, épreuve Maths approfondies ECG. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On suppose $rg (A) = p$ et $Y = A U_{0} + Z$ , où $U_{0} \in M_{p, 1} (R)$ est fixé et $Z =^{t} (z_{1}, \dots, z_{n})$ , les $z_{i}$ étant indépendantes de loi $N (0, σ^{2})$ . On pose $X = M^{- 1}^{t} A Y$ (relation (4)) et $T = ∥ A (X - U_{0}) ∥^{2}$ . Python : numpy as np, numpy.random as rd (rd.normal(m,d,n) simule $n$ variables indépendantes de loi $N (m, d^{2})$ ), numpy.linalg as al, matplotlib.pyplot as plt.

Q16.a. Montrer que $T = ∥ QZ ∥^{2} =^{t} Z QZ$ .
Q16.b. Écrire simuleT(A,sigma) qui simule $T$ .
Q16.c. Écrire esperance(A,sigma) qui renvoie une valeur approchée de $E (T)$ .
Q16.d. Pour $σ = 1$ et trois matrices $A_{1}$ ( $3 \times 2$ ), $A_{2}$ ( $4 \times 3$ ), $A_{3}$ ( $6 \times 5$ ), de coefficients $A_{i, j} = i - j + 1$ si $i ⩾ j$ et $0$ sinon (les $p$ premières lignes forment une matrice triangulaire inférieure à diagonale de $1$ ), on obtient environ $1, 99$ , $3, 01$ et $4, 97$ ; puis, pour $A_{1}$ et $σ = 1, \dots, 6$ , un graphique de l'espérance estimée en fonction de $σ$ . Que conjecturer ?

Corrigé

Q16.a. Par Q10(a), $A X = A M^{- 1}^{t} A Y = Q Y$ . De plus $Q A = A M^{- 1} (^{t} AA) = A M^{- 1} M = A$ , donc

$A (X - U_{0}) = Q Y - A U_{0} = Q (A U_{0} + Z) - A U_{0} = Q A U_{0} + QZ - A U_{0} = QZ .$

D'où $T = ∥ QZ ∥^{2} =^{t} (QZ) (QZ) =^{t} Z^{t} Q Q Z$ . Or $Q$ est symétrique et vérifie $Q^{2} = Q$ (calcul de Q10(a) ; c'est la matrice, en base orthonormée, d'un projecteur orthogonal), donc $^{t} QQ = Q^{2} = Q$ et

$T = ∥ QZ ∥^{2} =^{t} Z QZ .$

En particulier $T$ ne dépend ni de $U_{0}$ ni de $Y$ autrement qu'à travers le bruit $Z$ .

Q16.b. D'après Q16(a), il suffit de simuler $Z$ : rd.normal(0,sigma,n) renvoie un vecteur de $n$ réalisations indépendantes de loi $N (0, σ^{2})$ (le deuxième argument est l'écart type).


def simuleT(A, sigma):
    n, p = np.shape(A)
    Q = Calcule_Q(A)              # fonction de Q10b (A est de rang p)
    Z = rd.normal(0, sigma, n)    # z_1, ..., z_n i.i.d. de loi N(0, sigma^2)
    return Z @ Q @ Z              # tZ Q Z = T  (Q16a)

Avec des tableaux à une dimension, Z @ Q @ Z calcule $\sum_{i, j} z_{i} Q_{i, j} z_{j} =^{t} Z QZ$ .

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