Corrigé ESSEC-HEC 2025 Maths approfondies ECG — Partie III (Q23.a à Q23.d.iii) : Cas A = I et B diagonale : équation F(λ) = 0, solution explicite X0 et calcul par dichotomie en Python

Sujet officiel du concours ESSEC-HEC, session 2025, épreuve Maths approfondies ECG. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Ici $n = p = m$ , $A = I_{n}$ et $B$ est diagonale : $B_{i, i} = α_{i}$ pour $1 ⩽ i ⩽ k$ , $B_{i, i} = 0$ pour $k < i ⩽ n$ , avec $1 ⩽ k < n$ et $α_{1}, \dots, α_{k}$ non nuls. On pose $ρ (Y) = \sum_{i = 1}^{k} \frac{y _{i}^{2}}{α _{i}^{2}}$ et, pour $λ ⩾ 0$ , $F (λ) = - 1 + \sum_{i = 1}^{k} \frac{α _{i}^{2} y _{i}^{2}}{( λ + α _{i}^{2} ) ^{2}}$ .

Q23.a. Montrer que $F (λ) ⩽ - 1 + \frac{1}{4 λ} \sum_{i = 1}^{k} y_{i}^{2}$ pour tout $λ > 0$ .
Q23.b. Si $ρ (Y) > 1$ , montrer qu'il existe un unique $λ_{0} > 0$ tel que $F (λ_{0}) = 0$ , et que $λ_{0} ⩽ \frac{1}{4} \sum_{i = 1}^{k} y_{i}^{2}$ .
Q23.c. On pose $β = 0$ si $ρ (Y) ⩽ 1$ , $β = λ_{0}$ sinon, $v_{i} = \frac{α _{i} y _{i}}{β + α _{i}^{2}}$ pour $i ⩽ k$ , $v_{i} = 0$ pour $i > k$ , et $X_{0} = Y - B V$ . Montrer que $X_{0}$ réalise un minimum global de $J$ .
Q23.d. Python (alpha et Y : tableaux des $α_{i}$ et des $y_{i}$ , lda $= λ ⩾ 0$ , epsilon $> 0$ ).
(i) Écrire FoncSom(alpha,Y,lda) qui renvoie $F (λ)$ .
(ii) Écrire CalcBeta(alpha,Y,epsilon) qui renvoie une valeur approchée de $β$ à $ε$ près, par dichotomie sur $[0, \frac{1}{4} \sum_{i ⩽ k} y_{i}^{2}]$ quand $ρ (Y) > 1$ .
(iii) Écrire CalcSolution(alpha,Y,epsilon) qui renvoie $X_{0}$ .

Corrigé

Q23.a. Soit $λ > 0$ et $a > 0$ . Comme $(λ - a)^{2} ⩾ 0$ , on a $(λ + a)^{2} = (λ - a)^{2} + 4 λa ⩾ 4 λa > 0$ , d'où $\frac{a}{( λ + a ) ^{2}} ⩽ \frac{a}{4 λa} = \frac{1}{4 λ}$ . Avec $a = α_{i}^{2} > 0$ , en multipliant par $y_{i}^{2} ⩾ 0$ et en sommant :

$F (λ) = - 1 + i = 1 \sum k y_{i}^{2} \frac{α _{i}^{2}}{( λ + α _{i}^{2} ) ^{2}} ⩽ - 1 + i = 1 \sum k \frac{y _{i}^{2}}{4 λ}, soit F (λ) ⩽ - 1 + \frac{1}{4 λ} i = 1 \sum k y_{i}^{2} .$

Q23.b. Variations. Les dénominateurs $λ + α_{i}^{2}$ ne s'annulent pas sur $[0, + \infty [$ , donc $F$ est dérivable sur cet intervalle, avec

$F^{'} (λ) = - 2 i = 1 \sum k \frac{α _{i}^{2} y _{i}^{2}}{( λ + α _{i}^{2} ) ^{3}} .$

Comme $ρ (Y) > 1$ , l'un au moins des $y_{i}$ ( $i ⩽ k$ ) est non nul, et le terme correspondant est strictement positif : $F^{'} (λ) < 0$ sur $[0, + \infty [$ , et $F$ est continue et strictement décroissante.

Valeurs extrêmes. $F (0) = - 1 + \sum_{i = 1}^{k} \frac{α _{i}^{2} y _{i}^{2}}{α _{i}^{4}} = ρ (Y) - 1 > 0$ , et chaque terme de la somme tend vers $0$ en $+ \infty$ , donc $lim_{+ \infty} F = - 1 < 0$ .

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