Corrigé ESSEC-HEC 2025 Maths approfondies ECG — Partie III (Q20.a à Q22) : Inégalité de convexité de la norme et caractérisation du minimum global de J par −D(X0) ∈ N(X0)

Notations de la partie III : $J(X)=\frac{1}{2}\Vert AX-Y{\Vert }^2+\Vert BX\Vert$, $D(X)=MX-{}^{t}AY$, $\mathcal{N}(X)=\{{}^{t}BV\mid V\in {\mathcal{M}}_{m,1}(\mathbb{R}),\Vert V\Vert ⩽1,\Vert BX\Vert V=BX\}$.

Q20. Soient $u,v\in {\mathbb{R}}^n$ avec $u\ne 0$.
(a) Montrer que $\Vert u+v{\Vert }^2-(\Vert u\Vert +\frac{⟨u,v⟩}{\Vert u\Vert }{)}^2=\frac{\Vert u{\Vert }^2\Vert v{\Vert }^2-⟨u,v{⟩}^2}{\Vert u{\Vert }^2}$.
(b) En déduire que $\Vert u+v\Vert -\Vert u\Vert ⩾\frac{⟨u,v⟩}{\Vert u\Vert }$ (relation (7)).
Q21. Soient $X_0,X\in {\mathcal{M}}_{p,1}(\mathbb{R})$ et $W\in \mathcal{N}(X_0)$.
(a) Montrer que $\Vert BX\Vert -\Vert B{X}_0\Vert ⩾⟨W,X-X_0⟩$.
(b) En déduire que $J(X)-J(X_0)⩾⟨D(X_0)+W,X-X_0⟩$ (relation (8)).
Q22. En déduire que $X_0$ réalise un minimum global de $J$ si et seulement si $-D(X_0)\in \mathcal{N}(X_0)$.