Corrigé ESSEC-HEC 2025 Maths approfondies ECG — Partie I (Q8.a à Q11) : Projecteur orthogonal sur Im(A) : trace égale au rang, inversibilité de tAA et formule Q = A M⁻¹ tA, en Python

Mêmes notations : $u\in \mathcal{L}(E,F)$ de matrice $A\in {\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{R})$ dans les bases orthonormées ${\mathcal{B}}_E,{\mathcal{B}}_F$, $u^{\ast }$ son adjointe (matrice ${}^{t}A$, Q4), $M={}^{t}AA$. Bibliothèques Python : numpy as np, numpy.linalg as al (al.inv, al.matrix_rank).

Q8. Soit $\pi$ le projecteur orthogonal de $F$ sur $\mathrm{Im}(u)$ et $Q$ sa matrice dans ${\mathcal{B}}_F$.
(a) Montrer que ${}^{t}AQ={}^{t}A$.   (b) Montrer que $\mathrm{Tr}(Q)=\mathrm{rg}(u)$.
Q9. Montrer que $M$ est inversible si et seulement si $\mathrm{rg}(A)=p$.
Q10. On suppose $\mathrm{rg}(A)=p$.
(a) Montrer que $Q=A{M}^{-1}{}^{t}A$.
(b) Écrire une fonction Calcule_Q(A) qui teste si $A$ est de rang $p$ et renvoie $Q$ dans ce cas, un message d'erreur sinon.
Q11. Montrer que ${}^{t}XMX⩾0$ pour tout $X\in {\mathcal{M}}_{p,1}(\mathbb{R})$.