Corrigé ESSEC-HEC 2026 Maths appliquées ECG — Acquisition comprimée — 1re caractérisation (Q20.a à Q22.b) : Somme des valeurs absolues, ‖X‖ ≤ |X| ≤ √k‖X‖, noyau et rang d'une (ε, Cₖ)-isométrie, Y unique solution de AX = AY minimisant le nombre de composantes non nulles

Sujet officiel du concours ESSEC-HEC, session 2026, épreuve Maths appliquées ECG. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Notations précédentes ( $S (X)$ , $⟨ X ⟩$ , $C_{k}$ ). Pour $X \in M_{n, 1} (R)$ de composantes $x_{1}, \dots, x_{n}$ , on note $∣ X ∣ = \sum_{i = 1}^{n} ∣ x_{i} ∣ = \sum_{i \in S (X)} ∣ x_{i} ∣$ . Soit $k \in [[1, n]]$ ; on veut retrouver $Y \in C_{k}$ inconnu à partir de $A Y$ .

Q20. Soit $r \in N^{*}$ . (a) Montrer que $∣ X + Y ∣ ⩽ ∣ X ∣ + ∣ Y ∣$ , puis que $\sum_{i = 1}^{r} X_{i} ⩽ \sum_{i = 1}^{r} ∣ X_{i} ∣$ . (b) Si $X_{1}, \dots, X_{r}$ sont à supports deux à deux disjoints, montrer que $\sum_{i = 1}^{r} X_{i} = \sum_{i = 1}^{r} ∣ X_{i} ∣$ . (c) Avec Q13, montrer que pour $X \in C_{k}$ , $∥ X ∥ ⩽ ∣ X ∣ ⩽ k ∥ X ∥$ .
Q21. $A$ est une $(ε, C_{k})$ -isométrie, $ε \in] 0, 1 [$ . (a) Montrer que si $X \in C_{k}$ et $A X = 0$ , alors $X = 0$ . (b) En déduire $rg (A) ⩾ k$ .
Q22. Ici $k ⩽ \frac{n}{2}$ et $A$ est une $(ε, C_{2 k})$ -isométrie. (a) Si $(X, Y) \in C_{k}^{2}$ et $A X = A Y$ , justifier que $X - Y \in C_{2 k}$ et en déduire $X = Y$ . (b) Pour $Y \in C_{k}$ et $B = A Y$ , montrer que $Y$ est l'unique solution de $A X = B$ qui minimise $⟨ X ⟩$ .

Corrigé

Q20.a. Notons $x_{i}$ , $y_{i}$ les composantes de $X$ , $Y$ . L'inégalité triangulaire dans $R$ , composante par composante, donne

$∣ X + Y ∣ = i = 1 \sum n ∣ x_{i} + y_{i} ∣ ⩽ i = 1 \sum n (∣ x_{i} ∣ + ∣ y_{i} ∣) = ∣ X ∣ + ∣ Y ∣.$

Généralisation, par récurrence sur $r ⩾ 1$ . Pour $r = 1$ , c'est une égalité. Si l'inégalité vaut au rang $r$ , alors, par le cas de deux vecteurs puis l'hypothèse de récurrence,

$i = 1 \sum r + 1 X_{i} = i = 1 \sum r X_{i} + X_{r + 1} ⩽ i = 1 \sum r X_{i} + ∣ X_{r + 1} ∣ ⩽ i = 1 \sum r + 1 ∣ X_{i} ∣.$

Ce que le correcteur attend : $∣ \cdot ∣$ est ici une nouvelle quantité définie sur les vecteurs ; son inégalité triangulaire se démontre (à partir de celle des réels), et la version à $r$ termes demande une récurrence. Le rapport sanctionne les copies qui ont jugé ces deux points « immédiats ».

Q20.b. Notons $x_{i, l}$ la $l$ -ième composante de $X_{i}$ . Fixons $l \in [[1, n]]$ . Les supports étant deux à deux disjoints, $l$ appartient au support d'au plus un $X_{i}$ : parmi $x_{1, l}, \dots, x_{r, l}$ , au plus un terme est non nul. Pour une telle famille, $\sum_{i} x_{i, l} = \sum_{i} ∣ x_{i, l} ∣$ (les deux membres valent la valeur absolue de l'unique terme non nul, ou $0$ ). En sommant sur $l$ et en échangeant les deux sommes finies :

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