ESSEC-HEC 2026 — Maths appliquées ECG : sujet et corrigé

8 parties corrigées, avec un corrigé rédigé · filière ECG.

• Préliminaire informatique (Q1.a à Q3) — Norme euclidienne en Python, test d'une (ε, X)-isométrie sur un exemple et fonction EstIsom
• Johnson-Lindenstrauss — Matrice gaussienne (Q4 à Q6.b) — Simulation de la matrice gaussienne, loi normale de Yᵢ, Z = (1/m)ΣYᵢ² et E(exp(tYᵢ²)) = 1/√(1−2t) par le théorème de transfert
• Johnson-Lindenstrauss — Concentration (Q7.a à Q10) — Inégalité de Markov exponentielle, majoration P(|Z−1| > ε) ≤ 2exp(−mε²/8), réunion sur r vecteurs et existence d'une isométrie dès que m > 8ln(2r)/ε², fonction Isom
• Sporadiques — Supports et Cauchy-Schwarz (Q11 à Q14.b) — Cardinal de Tₖ, sous-espaces Q(T) de dimension k, Cₖ réunion de sous-espaces qui n'en est pas un, inégalité de Cauchy-Schwarz et ‖AX‖ ≤ α‖X‖
• Sporadiques — Du réseau fini au sous-espace (Q15 à Q17.d) — Suite arithmético-géométrique de limite 3δ/(4−δ), encadrement 1 − uₚ ≤ ‖AX‖ ≤ 1 + uₚ par récurrence, passage à la limite et isométrie sur Q(T)
• Sporadiques — Isométries sur vecteurs creux (Q18 à Q19.c) — Probabilité d'échec sur Q(T) puis sur Cₖ, majorations du coefficient binomial par la série exponentielle et existence d'une (ε, Cₖ)-isométrie
• Acquisition comprimée — 1re caractérisation (Q20.a à Q22.b) — Somme des valeurs absolues, ‖X‖ ≤ |X| ≤ √k‖X‖, noyau et rang d'une (ε, Cₖ)-isométrie, Y unique solution de AX = AY minimisant le nombre de composantes non nulles
• Acquisition comprimée — 2e caractérisation (Q23 à Q27) — Découpage du complémentaire du support par blocs de 2k indices, minoration de ‖AZ‖ pour ε < 1/3 et Y unique solution de AX = AY minimisant |X|