Corrigé ESSEC-HEC 2026 Maths appliquées ECG — Johnson-Lindenstrauss — Matrice gaussienne (Q4 à Q6.b) : Simulation de la matrice gaussienne, loi normale de Yᵢ, Z = (1/m)ΣYᵢ² et E(exp(tYᵢ²)) = 1/√(1−2t) par le théorème de transfert

Q4. D'après l'aide-mémoire, rd.normal(0,1,[m,n]) simule une matrice $m\times n$ de coefficients indépendants de loi $\mathcal{N}(0,1)$ ; il reste à la diviser par $\sqrt{m}$ :

rd.normal(0, 1, [m, n]) / np.sqrt(m)

Exécutée avec m, n = 4, 6, l'expression renvoie un tableau dont np.shape vaut (4, 6).

Q5.a. $G_{i,j}\hookrightarrow \mathcal{N}(0,1)$ et $x_j\ne 0$. Par la transformation affine d'une loi normale ($aG+b\hookrightarrow \mathcal{N}(a\mu +b,a^2{\sigma }^2)$ pour $a\ne 0$), avec $a=x_j$ et $b=0$ :

$$\boxed{x_j{G}_{i,j}\hookrightarrow \mathcal{N}(0,x_j^2)}.$$

Ce que le correcteur attend : le second paramètre est la variance $x_j^2$, et non $x_j$ (qui peut d'ailleurs être négatif) ; le rapport du jury relève qu'un nombre non négligeable de candidats a écrit $\mathcal{N}(0,x_j)$.

Q5.b. Notons $J=\{j\in [[1,n]]\mid x_j\ne 0\}$. Les termes d'indice $j\notin J$ sont nuls, donc $Y_i={\sum }_{j\in J}{x}_j{G}_{i,j}$, et $J\ne \varnothing$ puisque $\Vert X\Vert =1$ interdit $X=0$.