Corrigé ESSEC-HEC 2026 Maths appliquées ECG — Préliminaire informatique (Q1.a à Q3) : Norme euclidienne en Python, test d'une (ε, X)-isométrie sur un exemple et fonction EstIsom

Pour $X\in {\mathcal{M}}_{d,1}(\mathbb{R})$ de coefficients $x_1,\dots ,x_d$, on pose $\Vert X\Vert =\sqrt{x_1^2+\cdots +x_d^2}$ ; c'est une norme (admis). Pour $\mathcal{X}$ un ensemble d'éléments de ${\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})$, $\epsilon \in ]0,1[$ et $A\in {\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{R})$, $A$ est une $(\epsilon ,\mathcal{X})$-isométrie si, pour tout $X\in \mathcal{X}$, $(1-\epsilon )\Vert X{\Vert }^2⩽\Vert AX{\Vert }^2⩽(1+\epsilon )\Vert X{\Vert }^2$. On a importé numpy sous le nom np et numpy.random sous le nom rd.

Q1.a. Écrire Norme(X) qui renvoie $\Vert X\Vert$ pour un vecteur numpy.
Q1.b. Prévoir l'affichage de Norme(X) puis de Norme((1/Norme(X))*X) pour $X=(1,0,1,1,1)$.
Q2. Avec $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$, $X=(1,-1)$ et $\epsilon =0,6$, le script affiche $\Vert AX{\Vert }^2$ (le sujet annonce 3.0) puis le booléen $1-\epsilon ⩽\Vert AX{\Vert }^2/\Vert X{\Vert }^2⩽1+\epsilon$ (True). Expliquer.
Q3. Écrire EstIsom(A,LX,eps) qui teste si $A$ est une $(\epsilon ,\mathcal{X})$-isométrie, $\mathcal{X}$ étant donné par la liste finie LX. Prévoir, en le justifiant, l'affichage pour la même matrice $A$, $\mathcal{X}=\{(-1,3),(1,-2)\}$ et $\epsilon =0,2$.