Corrigé ESSEC-HEC 2026 Maths appliquées ECG — Sporadiques — Supports et Cauchy-Schwarz (Q11 à Q14.b) : Cardinal de Tₖ, sous-espaces Q(T) de dimension k, Cₖ réunion de sous-espaces qui n'en est pas un, inégalité de Cauchy-Schwarz et ‖AX‖ ≤ α‖X‖

Sujet officiel du concours ESSEC-HEC, session 2026, épreuve Maths appliquées ECG. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Pour $X \in M_{n, 1} (R)$ de composantes $x_{1}, \dots, x_{n}$ : $S (X)$ est l'ensemble des indices $i$ tels que $x_{i} \neq = 0$ (support) et $⟨ X ⟩ = # S (X)$ . Pour $k \in [[0, n]]$ : $C_{k} = {X ∣ ⟨ X ⟩ ⩽ k}$ , $T_{k}$ est l'ensemble des parties de $[[1, n]]$ à $k$ éléments et, pour $T \in T_{k}$ , $Q (T)$ est l'ensemble des $X$ dont le support est inclus dans $T$ .

Q11. Donner $# T_{k}$ pour $k \in [[0, n]]$ .
Q12.a. Déterminer $C_{0}$ et $C_{n}$ . Dans la suite, $k \in [[1, n - 1]]$ .
Q12.b. Pour $T = {i_{1}, \dots, i_{k}} \in T_{k}$ , montrer que $Q (T)$ est un sous-espace vectoriel de dimension $k$ .
Q12.c. Montrer que $C_{k}$ est la réunion des $Q (T)$ , $T \in T_{k}$ . Est-ce un sous-espace vectoriel ?
Q13. (Cauchy-Schwarz) $X$ , $Y$ non nuls, de coefficients $x_{i}$ , $y_{i}$ . (a) Montrer $2∣ x_{i} ∣∣ y_{i} ∣ ⩽ x_{i}^{2} + y_{i}^{2}$ . (b) Si $∥ X ∥ = ∥ Y ∥ = 1$ , en déduire $\sum_{i} x_{i} y_{i} ⩽ 1$ . (c) En conclure $\sum_{i} x_{i} y_{i} ⩽ ∥ X ∥∥ Y ∥$ , puis $(\sum_{i} x_{i} y_{i})^{2} ⩽ (\sum_{i} x_{i}^{2}) (\sum_{i} y_{i}^{2})$ ; et si $X$ ou $Y$ est nul ?
Soit $A = (a_{i, j}) \in M_{m, n} (R)$ .
Q14.a. Montrer que $∥ A X ∥^{2} = \sum_{i = 1}^{m} (\sum_{j = 1}^{n} a_{i, j} x_{j})^{2}$ .
Q14.b. En déduire $∥ A X ∥^{2} ⩽ (\sum_{i, j} a_{i, j}^{2}) ∥ X ∥^{2}$ . On pose $α = (\sum_{i, j} a_{i, j}^{2})^{1/2}$ .

Corrigé

Notons $E_{1}, \dots, E_{n}$ la base canonique de $M_{n, 1} (R)$ : $E_{i}$ a pour seule composante non nulle un $1$ en position $i$ .

Q11. $T_{k}$ est l'ensemble des parties à $k$ éléments d'un ensemble à $n$ éléments ; son cardinal est, par définition du coefficient binomial,

$# T_{k} = (k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!} .$

Ce que le correcteur attend : un résultat de cours, énoncé sans détour ; le jury s'étonne des réponses fantaisistes à cette question.

Q12.a. $⟨ X ⟩ ⩽ 0$ signifie que $X$ n'a aucune composante non nulle : $C_{0} = {0}$ . Tout $X$ a au plus $n$ composantes non nulles, donc $⟨ X ⟩ ⩽ n$ toujours : $C_{n} = M_{n, 1} (R)$ .

Q12.b. Le support de $X$ est inclus dans $T$ si et seulement si $x_{i} = 0$ pour tout $i \in / T$ , c'est-à-dire si et seulement si

$X = l = 1 \sum k x_{i_{l}} E_{i_{l}} .$

Ainsi $Q (T)$ est exactement l'ensemble des combinaisons linéaires de $E_{i_{1}}, \dots, E_{i_{k}}$ : $Q (T) = Vect (E_{i_{1}}, \dots, E_{i_{k}})$ , qui est un sous-espace vectoriel. La famille $(E_{i_{1}}, \dots, E_{i_{k}})$ l'engendre et elle est libre, comme sous-famille de la base canonique (les $i_{l}$ sont distincts) : c'est une base de $Q (T)$ , et $dim Q (T) = k$ .

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