Corrigé ESSEC-HEC 2026 Maths appliquées ECG — Sporadiques — Du réseau fini au sous-espace (Q15 à Q17.d) : Suite arithmético-géométrique de limite 3δ/(4−δ), encadrement 1 − uₚ ≤ ‖AX‖ ≤ 1 + uₚ par récurrence, passage à la limite et isométrie sur Q(T)

Sujet officiel du concours ESSEC-HEC, session 2026, épreuve Maths appliquées ECG. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

$A \in M_{m, n} (R)$ et $α = (\sum_{i, j} a_{i, j}^{2})^{1/2}$ , de sorte que $∥ A X ∥ ⩽ α ∥ X ∥$ (Q14.b). On admet : pour $k \in [[0, n]]$ , $T \in T_{k}$ et $δ \in] 0, 1 [$ , il existe une partie finie $X_{T, δ}$ de $Q (T)$ , de cardinal au plus $(12/ δ)^{k}$ , telle que tout $X \in Q (T)$ de norme $1$ soit à distance au plus $δ /4$ d'un $Y \in X_{T, δ}$ de norme $1$ .

Q15. Montrer que $∥ A Y ∥ - ∥ A (X - Y) ∥ ⩽ ∥ A X ∥ ⩽ ∥ A Y ∥ + ∥ A (X - Y) ∥$ .
Q16. $δ \in] 0, 1 [$ , $u_{0} = α - 1$ et $u_{p + 1} = \frac{δ}{4} (3 + u_{p})$ (le sujet indexe la suite par $n$ ). Montrer que $u_{p} \to \frac{3 δ}{4 - δ}$ et que $\frac{3 δ}{4 - δ} ⩽ δ$ .
Désormais $k \in [[0, n]]$ , $T \in T_{k}$ , $ε \in] 0, 1 [$ , $δ \in] 0, 1 [$ avec $ε = 2 δ + δ^{2}$ , et $A$ est une $(\frac{δ}{2}, X_{T, δ})$ -isométrie.
Q17.a. Pour $Y \in X_{T, δ}$ de norme $1$ , montrer $1 - \frac{δ}{2} ⩽ 1 - \frac{δ}{2} ⩽ ∥ A Y ∥ ⩽ 1 + \frac{δ}{2} ⩽ 1 + \frac{δ}{2}$ .
Q17.b. En déduire, pour tout $p \in N^{*}$ et $X \in Q (T)$ de norme $1$ , $1 - u_{p} ⩽ ∥ A X ∥ ⩽ 1 + u_{p}$ .
Q17.c. En conclure $1 - δ ⩽ ∥ A X ∥ ⩽ 1 + δ$ , puis $1 - ε ⩽ ∥ A X ∥ ⩽ 1 + ε$ .
Q17.d. En déduire que $A$ est une $(ε, Q (T))$ -isométrie.

Corrigé

Q15. Par linéarité du produit matriciel, $A X = A Y + A (X - Y)$ . L'inégalité triangulaire (admise dans le préambule) $∥ U ∥ - ∥ V ∥ ⩽ ∥ U + V ∥ ⩽ ∥ U ∥ + ∥ V ∥$ , appliquée à $U = A Y$ et $V = A (X - Y)$ , donne exactement

$∥ A Y ∥ - ∥ A (X - Y) ∥ ⩽ ∥ A X ∥ ⩽ ∥ A Y ∥ + ∥ A (X - Y) ∥ .$

Q16. La relation s'écrit $u_{p + 1} = \frac{δ}{4} u_{p} + \frac{3 δ}{4}$ : la suite est arithmético-géométrique de raison $a = \frac{δ}{4} \neq = 1$ . Son point fixe $ℓ$ vérifie $ℓ = \frac{δ}{4} ℓ + \frac{3 δ}{4}$ , soit $ℓ (1 - \frac{δ}{4}) = \frac{3 δ}{4}$ , c'est-à-dire

$ℓ = \frac{3 δ /4}{( 4 - δ ) /4} = \frac{3 δ}{4 - δ} .$

La suite $v_{p} = u_{p} - ℓ$ vérifie $v_{p + 1} = \frac{δ}{4} v_{p}$ : elle est géométrique, et $u_{p} = ℓ + (u_{0} - ℓ) (\frac{δ}{4})^{p}$ . Comme $0 < \frac{δ}{4} < \frac{1}{4} < 1$ , $(\frac{δ}{4})^{p} \to 0$ , d'où

$p \to + \infty lim u_{p} = \frac{3 δ}{4 - δ} .$

Enfin, $4 - δ > 0$ et $δ > 0$ , donc $\frac{3 δ}{4 - δ} ⩽ δ ⟺ 3 ⩽ 4 - δ ⟺ δ ⩽ 1$ , ce qui est vrai : $\frac{3 δ}{4 - δ} ⩽ δ$ .

Ce que le correcteur attend : la convergence se démontre (forme explicite) ; le rapport relève des affirmations sans preuve, et l'idée fausse qu'une suite est toujours du même côté de sa limite. Ici $u_{0} - ℓ$ peut être de signe quelconque.

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