Corrigé ESSEC-HEC 2026 Maths appliquées ECG — Sporadiques — Isométries sur vecteurs creux (Q18 à Q19.c) : Probabilité d'échec sur Q(T) puis sur Cₖ, majorations du coefficient binomial par la série exponentielle et existence d'une (ε, Cₖ)-isométrie

Notations des parties précédentes : $M=\frac{1}{\sqrt{m}}(G_{i,j})$ est la matrice gaussienne, $\epsilon =2\delta +{\delta }^2\in ]0,1[$ avec $\delta \in ]0,1[$, ${\mathcal{X}}_{T,\delta }\subset \mathcal{Q}(T)$ est la partie finie admise avant Q16, de cardinal au plus $(12/\delta {)}^k$. On suppose $k\in [[1,n]]$.

Q18. En déduire que la probabilité que $M$ ne soit pas une $(\epsilon ,\mathcal{Q}(T))$-isométrie est inférieure à $2(12/\delta {)}^k{\mathrm{e}}^{-m{\delta }^2/32}$, puis que celle que $M$ ne soit pas une $(\epsilon ,{\mathcal{C}}_k)$-isométrie est inférieure à $2\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)(12/\delta {)}^k{\mathrm{e}}^{-m{\delta }^2/32}$.
Q19.a. Montrer que $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)⩽\frac{n^k}{k!}$.
Q19.b. À l'aide de la somme d'une série, établir ${\mathrm{e}}^k⩾2\frac{k^k}{k!}$, puis $2\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)⩽(\frac{\mathrm{e}n}{k}{)}^k$.
Q19.c. On pose $a=\frac{m}{k}$, $b=\frac{n}{k}$ et on suppose $a>32\frac{\ln (12b\mathrm{e}/\delta )}{{\delta }^2}$. Montrer qu'il existe $A\in {\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{R})$ qui est une $(\epsilon ,{\mathcal{C}}_k)$-isométrie.