Corrigé ESSEC-HEC 2026 Maths appliquées ECG — Acquisition comprimée — 2e caractérisation (Q23 à Q27) : Découpage du complémentaire du support par blocs de 2k indices, minoration de ‖AZ‖ pour ε < 1/3 et Y unique solution de AX = AY minimisant |X|

Sujet officiel du concours ESSEC-HEC, session 2026, épreuve Maths appliquées ECG. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On suppose $k ⩽ \frac{n}{3}$ et $A$ une $(ε, C_{3 k})$ -isométrie avec $ε < \frac{1}{3}$ . Soit $Y \in C_{k}$ , $B = A Y$ , et $X$ tel que $A X = B$ et $∣ X ∣ ⩽ ∣ Y ∣$ ; on pose $Z = Y - X$ . $S$ est le support de $Y$ et $S$ son complémentaire dans $[[1, n]]$ . Pour $I \subset [[1, n]]$ , $Z_{I}$ est obtenu à partir de $Z$ en annulant les composantes d'indice hors de $I$ .

Q23. Si $⟨ Z ⟩ ⩽ 3 k$ , montrer que $Z = 0$ .
On suppose ensuite $⟨ Z ⟩ ⩾ 3 k + 1$ .
Q24. (a) Montrer que $Y - Z_{S} = X + Z_{S}$ et $∣ Y - Z_{S} ∣ = ∣ Y ∣ + ∣ Z_{S} ∣$ . (b) En déduire $∣ Z_{S} ∣ ⩾ ∣ Z_{S} ∣$ . (c) Montrer que $∥ Z_{S} ∥ ⩾ \frac{1}{k} ∣ Z_{S} ∣ ⩾ \frac{1}{k} ∣ Z_{S} ∣$ .
On pose $r = ⌊⟨ Z_{S} ⟩ / (2 k)⌋$ et l'on découpe $S$ en parties disjointes $T_{1}, \dots, T_{r + 1}$ : pour $i ⩽ r$ , $⟨ Z_{T_{i}} ⟩ = 2 k$ et les composantes non nulles de $Z_{T_{i}}$ dominent en valeur absolue celles de $Z_{T_{i + 1}}$ ; ainsi $Z_{S} = \sum_{i = 1}^{r + 1} Z_{T_{i}}$ et $⟨ Z_{T_{r + 1}} ⟩ < 2 k$ . On note $α_{i}$ la plus petite valeur absolue des composantes non nulles de $Z_{T_{i}}$ .
Q25. (a) Montrer que $∣ Z_{T_{i}} ∣ ⩾ 2 k 2 k α_{i}^{2} ⩾ 2 k ∥ Z_{T_{i + 1}} ∥$ . (b) En déduire $∥ Z_{S} ∥ ⩾ 2 \sum_{i = 2}^{r + 1} ∥ Z_{T_{i}} ∥$ .
Q26. (a) Montrer que $∥ A Z ∥ ⩾ ∥ A Z_{S \cup T_{1}} ∥ - \sum_{i = 2}^{r + 1} A Z_{T_{i}} ⩾ 1 - ε ∥ Z_{S \cup T_{1}} ∥ - 1 + ε \sum_{i = 2}^{r + 1} ∥ Z_{T_{i}} ∥$ . (b) En déduire $∥ A Z ∥ ⩾ (1 - ε - \frac{1 + ε}{2}) ∥ Z_{S} ∥$ . (c) Conclure que $Z_{S} = 0$ , puis que $X = Y$ .
Q27. En déduire que $Y$ est l'unique solution de $A X = B$ qui minimise $∣ X ∣$ .

Corrigé

Deux remarques servent partout. D'abord $A Z = A Y - A X = B - B = 0$ . Ensuite, pour $I$ et $J$ disjoints, $Z_{I \cup J} = Z_{I} + Z_{J}$ , les supports de $Z_{I}$ et $Z_{J}$ étant disjoints, et $⟨ Z_{I} ⟩ ⩽ # I$ . On convient que $Z_{\emptyset} = 0$ (ce cas peut se produire pour $T_{r + 1}$ ).

Q23. Si $⟨ Z ⟩ ⩽ 3 k$ , alors $Z \in C_{3 k}$ (bien défini car $3 k ⩽ n$ ) et $A Z = 0$ . La question Q21.a, appliquée avec $3 k \in [[1, n]]$ à la place de $k$ ( $A$ est une $(ε, C_{3 k})$ -isométrie), donne $Z = 0$ .

Q24.a. Comme $S$ et $S$ partagent $[[1, n]]$ , $Z = Z_{S} + Z_{S}$ . Donc

$Y - Z_{S} = Y - (Z - Z_{S}) = (Y - Z) + Z_{S} = X + Z_{S} .$

Le support de $Y$ est $S$ et celui de $- Z_{S}$ est inclus dans $S$ : ces supports sont disjoints. Par Q20.b, puis parce que $∣ - W ∣ = ∣ W ∣$ ,

$∣ Y - Z_{S} ∣ = ∣ Y ∣ + ∣ - Z_{S} ∣ = ∣ Y ∣ + ∣ Z_{S} ∣ .$

(Si $Y = 0$ , l'hypothèse $∣ X ∣ ⩽ ∣ Y ∣ = 0$ force $X = 0$ , donc $Z = 0$ , ce qui contredit $⟨ Z ⟩ ⩾ 3 k + 1$ : on a donc $S \neq = \emptyset$ .)

Q24.b. Par Q24.a, l'inégalité triangulaire de Q20.a et l'hypothèse $∣ X ∣ ⩽ ∣ Y ∣$ :

$∣ Y ∣ + ∣ Z_{S} ∣ = ∣ X + Z_{S} ∣ ⩽ ∣ X ∣ + ∣ Z_{S} ∣ ⩽ ∣ Y ∣ + ∣ Z_{S} ∣,$

d'où, en retranchant $∣ Y ∣$ , $∣ Z_{S} ∣ ⩾ ∣ Z_{S} ∣$ .

Q24.c. Le support de $Z_{S}$ est inclus dans $S$ , et $# S = ⟨ Y ⟩ ⩽ k$ : $Z_{S} \in C_{k}$ . Par Q20.c, $∣ Z_{S} ∣ ⩽ k ∥ Z_{S} ∥$ ; avec Q24.b,

$∥ Z_{S} ∥ ⩾ \frac{1}{k} ∣ Z_{S} ∣ ⩾ \frac{1}{k} ∣ Z_{S} ∣ .$

Le découpage est licite. $⟨ Z ⟩ = ⟨ Z_{S} ⟩ + ⟨ Z_{S} ⟩$ avec $⟨ Z_{S} ⟩ ⩽ k$ , donc $⟨ Z_{S} ⟩ ⩾ 3 k + 1 - k = 2 k + 1$ et $r ⩾ 1$ : $T_{1}$ existe. Concrètement, on range les indices de $S$ où $Z$ est non nul par valeurs absolues décroissantes ; $T_{1}$ reçoit les $2 k$ premiers, $T_{2}$ les $2 k$ suivants, et ainsi de suite ; $T_{r + 1}$ reçoit les moins de $2 k$ restants et les indices de $S$ où $Z$ est nul.

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