Corrigé ESSEC-HEC 2026 Maths approfondies ECG — Partie III (Q11 à Q16) : Fonctions symétriques : action des matrices de permutation, factorisation par le réordonné, dérivées partielles permutées, toute fonction S-convexe est symétrique

Désormais $n⩾2$ et le théorème de Birkhoff-Von Neumann est admis en dimension $n$. On pose $H_n=\{y\in {\mathbb{R}}^n\mid y_1⩾y_2⩾\cdots ⩾y_n\}$. Une fonction $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ est symétrique si $f(x_{\sigma })=f(x)$ pour tous $x\in {\mathbb{R}}^n$ et $\sigma \in {\mathcal{P}}_n$ ; elle est S-convexe si $f(BX)⩽f(X)$ pour tout $X\in {\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})$ et toute matrice bistochastique $B$ (on identifie $X$ et $(x_1,\dots ,x_n)$).

Q11. Déterminer $P_{\sigma }X$ pour $X={}^t(x_1,\dots ,x_n)$.
Q12. Montrer que $f$ est symétrique si et seulement si $f(PX)=f(X)$ pour tout $X$ et toute $P\in {\mathbb{P}}_n$.
Q13. Montrer que $f$ est symétrique si et seulement s'il existe $\hat{f}:H_n\to \mathbb{R}$ telle que $f(x)=\hat{f}(\hat{x})$ pour tout $x$.
Q14. Dire si $f_1(x)={\sum }_{k=1}^n{x}_k$, $f_2(x)=x_1^2+x_2+\cdots +x_n$ et $f_3(x)={\max }_{1⩽i,j⩽n}|x_i-x_j|$ sont symétriques (preuve ou contre-exemple).
Q15. Soit $f$ symétrique de classe ${\mathcal{C}}^1$ et $g_{i,x}:t\mapsto f(x+t{e}_i)$. (a) Montrer que $g_{i,x}$ est ${\mathcal{C}}^1$ et calculer sa dérivée. (b) Montrer que $g_{i,x_{\sigma }}=g_{\sigma (i),x}$. (c) En déduire ${\partial }_{i}f(x_{\sigma })={\partial }_{\sigma (i)}f(x)$.
Q16. Montrer que toute fonction S-convexe est symétrique.