Corrigé ESSEC-HEC 2026 Maths approfondies ECG — Partie III (Q17 à Q21) : Inégalité de Jensen, symétrique et convexe implique S-convexe, condition de Schur sur les dérivées partielles, somme des h(xk) S-convexe ssi h convexe

Une application $g$ d'un espace vectoriel $E$ dans $\mathbb{R}$ est convexe si $g(tx+(1-t)y)⩽tg(x)+(1-t)g(y)$ pour tous $x,y\in E$ et $t\in [0,1]$. Les notions de fonction symétrique et S-convexe sont celles de la partie précédente ; le théorème de Birkhoff-Von Neumann est admis en dimension $n$.

Q17. Pour $g$ convexe, $z_1,\dots ,z_m\in E$ et ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m⩾0$ de somme $1$, montrer que $g\left({\sum }_{k=1}^m{\alpha }_k{z}_k\right)⩽{\sum }_{k=1}^m{\alpha }_{k}g(z_k)$.
Q18. En déduire que toute $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ symétrique et convexe est S-convexe.
Q19. ($n=2$, $f$ S-convexe de classe ${\mathcal{C}}^1$, $x=(x_1,x_2)$.) On pose $g(t)=f((1-t)x_1+t{x}_2,(1-t)x_2+t{x}_1)$. (a) Montrer que $g$ est ${\mathcal{C}}^1$ et exprimer $g^{\prime }(t)$. (b) Montrer que $g(t)⩽g(0)$ sur $[0,1]$, puis $g^{\prime }(0)⩽0$. (c) En déduire $(x_1-x_2)({\partial }_{1}f(x)-{\partial }_{2}f(x))⩾0$.
Q20. ($n⩾2$ quelconque, $f$ S-convexe ${\mathcal{C}}^1$.) Montrer que $(x_i-x_j)({\partial }_{i}f(x)-{\partial }_{j}f(x))⩾0$ pour tous $i,j$ et tout $x$.
Q21. Soit $h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ et $f(x_1,\dots ,x_n)={\sum }_{k=1}^{n}h(x_k)$. Montrer que $f$ est S-convexe si et seulement si $h$ est convexe.