Corrigé ESSEC-HEC 2026 Maths approfondies ECG — Partie IV (Q22 à Q26) : Fonctions spectrales : trace des puissances, diagonalisation orthogonale ordonnée, F(A) = f(λ(A)) avec f symétrique unique

Préliminaire : $\hat{\lambda }(A)$ est bien défini. Si $D$ est diagonale et semblable à $A$, pour tout réel $\lambda$ on a $\dim \ker (D-\lambda I_n)=\dim \ker (A-\lambda I_n)$ (deux matrices semblables ont des noyaux de même dimension), et pour $D$ diagonale ce nombre est le nombre de coefficients diagonaux égaux à $\lambda$. Les coefficients diagonaux de $D$ sont donc les valeurs propres de $A$, chacune répétée $\dim E_{\lambda }(A)$ fois, quelle que soit $D$ ; rangés dans l'ordre décroissant, ils donnent un vecteur indépendant de $D$ (et de la permutation choisie, Q5). On retiendra : deux matrices symétriques semblables ont le même $\hat{\lambda }$.

Q22. Soient $A\in {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$ et $Q\in {\mathcal{O}}_n$. D'abord $QA{}^{t}Q\in {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$ car ${}^t(QA{}^{t}Q)=Q{}^{t}A{}^{t}Q=QA{}^{t}Q$, donc $F_k(QA{}^{t}Q)$ a un sens. Comme $Q{}^{t}Q=I_n$, $Q$ est inversible d'inverse ${}^{t}Q$, donc aussi ${}^{t}QQ=I_n$. Montrons par récurrence sur $k⩾1$ que $(QA{}^{t}Q{)}^k=Q{A}^k{}^{t}Q$ : c'est clair pour $k=1$, et si c'est vrai au rang $k$,

$$(QA{}^{t}Q{)}^{k+1}=(Q{A}^k{}^{t}Q)(QA{}^{t}Q)=Q{A}^k({}^{t}QQ)A{}^{t}Q=Q{A}^{k+1}{}^{t}Q.$$

Avec la propriété $\mathrm{Tr}(MN)=\mathrm{Tr}(NM)$, appliquée à $M=Q{A}^k$ et $N={}^{t}Q$ :

$$F_k(QA{}^{t}Q)=\mathrm{Tr}\left(Q{A}^k{}^{t}Q\right)=\mathrm{Tr}\left({}^{t}QQ{A}^k\right)=\mathrm{Tr}(A^k)=F_k(A).$$