Corrigé ESSEC-HEC 2026 Maths approfondies ECG — Partie IV (Q27.a à Q27.d) : Théorème de Davis : diagonale et spectre reliés par une matrice bistochastique, convexité de F, F(DG(A)) ≤ F(A)

Notations de la partie IV ; pour $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, $\mathrm{diag}(A)$ est la colonne des coefficients diagonaux de $A$ et $\mathrm{DG}(A)=\mathrm{D}(\mathrm{diag}(A))$ la matrice diagonale de même diagonale que $A$. On suppose $F$ spectrale et la fonction associée $f$ (Q26) convexe ; on veut montrer que $F$ est convexe (théorème de Davis).

Q27.a. Pour $A\in {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$, montrer qu'il existe $S$ bistochastique telle que $\mathrm{diag}(A)=S\hat{\lambda }(A)$.
Q27.b. Pour $A,B\in {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$ et $C=A+B$, montrer qu'il existe $S_1$, $S_2$ bistochastiques telles que $\hat{\lambda }(C)=S_1\hat{\lambda }(A)+S_2\hat{\lambda }(B)$.
Q27.c. En déduire que $F$ est convexe.
Q27.d. Montrer que $F(\mathrm{DG}(A))⩽F(A)$ pour toute $A\in {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$.