Corrigé ESSEC-HEC 2026 Maths approfondies ECG — Partie IV (Q28.a à Q30) : Sommes des m plus grandes valeurs propres convexes (Ky Fan), fonctions spectrales à poids décroissants, inégalité de Fan

Q28.a. Notons ${\hat{\lambda }}_i={\hat{\lambda }}_i(A)$ et, $k$ étant fixé, $c_i=⟨X_k,V_i⟩$. La base $(V_i)$ étant orthonormée, le théorème des coordonnées dans une base orthonormée donne

$$X_k=\sum _{i=1}^n{c}_i{V}_i,\sum _{i=1}^n{c}_i^2=\Vert X_k{\Vert }^2=1.$$

Par linéarité, $A{X}_k={\sum }_i{c}_i{\hat{\lambda }}_i{V}_i$, et par bilinéarité et orthonormalité, $⟨X_k,A{X}_k⟩={\sum }_{i,j}{c}_j{c}_i{\hat{\lambda }}_i⟨V_j,V_i⟩={\sum }_{i=1}^n{\hat{\lambda }}_i{c}_i^2$. On écrit ${\hat{\lambda }}_i={\hat{\lambda }}_m+({\hat{\lambda }}_i-{\hat{\lambda }}_m)$ :

$$⟨X_k,A{X}_k⟩={\hat{\lambda }}_m\sum _{i=1}^n{c}_i^2+\sum _{i=1}^{m-1}({\hat{\lambda }}_i-{\hat{\lambda }}_m)c_i^2+\sum _{i=m+1}^n({\hat{\lambda }}_i-{\hat{\lambda }}_m)c_i^2$$

(le terme $i=m$ est nul). La première somme vaut $1$ ; dans la dernière, ${\hat{\lambda }}_i⩽{\hat{\lambda }}_m$ pour $i>m$, donc elle est négative. D'où

$$\boxed{⟨X_k,A{X}_k⟩⩽{\hat{\lambda }}_m(A)+\sum _{i=1}^{m-1}({\hat{\lambda }}_i(A)-{\hat{\lambda }}_m(A))⟨X_k,V_i{⟩}^2.}\text{\hspace{1em}(3)}$$

Inégalité (4). Sommons (3) pour $k=1,\dots ,m$ et intervertissons les sommes finies :

$$\sum _{k=1}^m⟨X_k,A{X}_k⟩⩽m{\hat{\lambda }}_m+\sum _{i=1}^{m-1}({\hat{\lambda }}_i-{\hat{\lambda }}_m)\sum _{k=1}^m⟨X_k,V_i{⟩}^2.$$

Pour $i$ fixé, ${\sum }_{k=1}^m⟨X_k,V_i{⟩}^2⩽{\sum }_{k=1}^n⟨X_k,V_i{⟩}^2=\Vert V_i{\Vert }^2=1$ (coordonnées de $V_i$ dans la base orthonormée $(X_k)$), et ${\hat{\lambda }}_i-{\hat{\lambda }}_m⩾0$ pour $i<m$. Donc

$$\sum _{k=1}^m⟨X_k,A{X}_k⟩⩽m{\hat{\lambda }}_m+\sum _{i=1}^{m-1}({\hat{\lambda }}_i-{\hat{\lambda }}_m)=\sum _{i=1}^{m-1}{\hat{\lambda }}_i+{\hat{\lambda }}_m={\Sigma }_m(A).$$