Corrigé Mines-Ponts 2025 Maths I MP-MPI — Inégalité de Hölder (Q1 à Q3) : Inégalité de Young, inégalité de Hölder et Cauchy-Schwarz pour les variables aléatoires

Dans tout le sujet, $n\in {\mathbb{N}}^{\star }$ est fixé et $(\Omega ,\mathcal{P}(\Omega ),P)$ est un espace probabilisé fini ; $L^0(\Omega )$ est l'espace vectoriel des variables aléatoires réelles sur $\Omega$, une variable presque sûrement nulle étant confondue avec la variable nulle. Pour $p\in [1,+\infty [$, $\Vert X{\Vert }_p=(E(|X{|}^p){)}^{1/p}$ (norme admise sur $L^0(\Omega )$). Une variable de Rademacher prend les valeurs $1$ et $-1$ avec probabilité $\frac{1}{2}$ chacune.

Dans cette partie, $p,q\in ]1,+\infty [$ vérifient $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$, et $X,Y\in L^0(\Omega )$ sont positives.

Q1. Montrer que $xy\le \frac{x^p}{p}+\frac{y^q}{q}$ pour tous $x,y\in {\mathbb{R}}_{+}$ (inégalité de Young).
Q2. En déduire l'inégalité de Hölder : $E(XY)\le (E(X^p){)}^{1/p}(E(Y^q){)}^{1/q}$.
Q3. Quelle inégalité obtient-on pour $p=q=2$ ? En donner une preuve directe.