Corrigé Mines-Ponts 2025 Maths I MP-MPI — Inégalités de Khintchine (Q8 à Q16) : Inégalités de Khintchine : moments d'une somme de Rademacher

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2025, épreuve Maths I MP-MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

$p \in [1, + \infty [$ ; $X_{1}, \dots, X_{n}$ sont indépendantes de loi de Rademacher ; $(c_{1}, \dots, c_{n}) \in R^{n}$ et (notation du corrigé) $S = \sum_{i = 1}^{n} c_{i} X_{i}$ . On rappelle $∥ Z ∥_{p} = (E (∣ Z ∣^{p}))^{1/ p}$ .

Q8. Pour $X$ variable aléatoire réelle positive et finie et $F_{X} (t) = P (X > t)$ ( $t \geq 0$ ), montrer que $\int_{0}^{+ \infty} t^{p - 1} F_{X} (t) d t$ converge et vaut $\frac{1}{p} E (X^{p})$ .
Q9. Si $\sum_{i = 1}^{n} c_{i}^{2} = 1$ , montrer que $\int_{0}^{+ \infty} t^{3} e^{- t^{2} /2} d t$ converge et que $E (S^{4}) \leq 8 \int_{0}^{+ \infty} t^{3} e^{- t^{2} /2} d t$ .
Q10. Montrer que $E (S^{2}) = \sum_{i = 1}^{n} c_{i}^{2}$ .
Q11. En déduire l'existence d'un réel $β_{p} > 0$ tel que $∥ S ∥_{p} \leq β_{p} ∥ S ∥_{2}$ .
Q12. Si $p \geq 2$ , montrer que $∥ S ∥_{2} \leq ∥ S ∥_{p}$ .
Pour Q13 à Q15, $1 \leq p < 2$ .
Q13. Justifier l'existence de $θ \in] 0, 1 [$ tel que $\frac{1}{2} = \frac{θ}{p} + \frac{1 - θ}{4}$ .
Q14. Montrer que $E (S^{2}) \leq (E (∣ S ∣^{p}))^{2 θ / p} (E (∣ S ∣^{4}))^{(1 - θ) /2}$ .
Q15. Montrer l'existence de $α_{p} > 0$ tel que $α_{p} ∥ S ∥_{2} \leq ∥ S ∥_{p}$ .
Q16. En déduire, pour tout $p \geq 1$ , l'existence d'un réel $α_{p}$ tel que $α_{p} ∥ S ∥_{2} \leq ∥ S ∥_{p}$ .

Corrigé

Une précision indispensable. Les constantes $β_{p}$ , $α_{p}$ , $α_{p}$ n'ont d'intérêt (et ne serviront en Q19 et Q20) que si elles ne dépendent que de $p$ : ni de $n$ , ni des $c_{i}$ , ni de l'espace $Ω$ . Les constantes construites ci-dessous sont explicites et ont cette propriété.

Q8. La variable $X$ est positive et ne prend qu'un nombre fini de valeurs : $X (Ω) = {x_{1}, \dots, x_{r}}$ avec $0 \leq x_{1} < \dots < x_{r}$ . Les événements $(X = x_{j})$ forment un système complet, donc par additivité, pour $t \geq 0$ ,

$F_{X} (t) = P (X > t) = j = 1 \sum r P (X = x_{j}) 1_{[0, x_{j} [} (t),$

car $x_{j} > t$ équivaut à $t \in [0, x_{j} [$ .

Convergence. La fonction $t \mapsto t^{p - 1}$ est continue sur $[0, + \infty [$ (elle vaut $1$ si $p = 1$ , et tend vers $0$ en $0$ si $p > 1$ ). Donc $g : t \mapsto t^{p - 1} F_{X} (t)$ est continue par morceaux sur $[0, + \infty [$ (en escalier multipliée par une fonction continue) et nulle sur $[x_{r}, + \infty [$ . Son intégrale sur $[0, + \infty [$ converge : elle se réduit à l'intégrale d'une fonction continue par morceaux sur le segment $[0, x_{r}]$ .

Calcul. Par linéarité de l'intégrale (somme finie d'intégrales convergentes), puis par la formule de transfert :

$p \int_{0}^{+ \infty} t^{p - 1} F_{X} (t) d t = j = 1 \sum r P (X = x_{j}) p \int_{0}^{x_{j}} t^{p - 1} d t = j = 1 \sum r P (X = x_{j}) x_{j}^{p} = E (X^{p}),$

car $p \int_{0}^{x} t^{p - 1} d t = [t^{p}]_{0}^{x} = x^{p}$ pour tout $x \geq 0$ (y compris $x = 0$ , où les deux membres sont nuls).

Q9. Convergence. La fonction $h : t \mapsto t^{3} e^{- t^{2} /2}$ est continue et positive sur $[0, + \infty [$ . Par croissances comparées, $t^{2} h (t) = t^{5} e^{- t^{2} /2} \to 0$ quand $t \to + \infty$ , donc $h (t) = o (\frac{1}{t ^{2}})$ , et $\int_{1}^{+ \infty} \frac{d t}{t ^{2}}$ converge (Riemann) : par le théorème de comparaison des fonctions positives, $\int_{0}^{+ \infty} h$ converge.

Valeur (servira en Q15). Le changement de variable $u = \frac{t ^{2}}{2}$ , bijection de classe $C^{1}$ strictement croissante de $] 0, + \infty [$ sur lui-même, avec $d u = t d t$ et $t^{3} d t = t^{2} \cdot t d t = 2 u d u$ , donne

$\int_{0}^{+ \infty} t^{3} e^{- t^{2} /2} d t = 2 \int_{0}^{+ \infty} u e^{- u} d u = 2 ([- u e^{- u}]_{0}^{+ \infty} + \int_{0}^{+ \infty} e^{- u} d u) = 2,$

100 % gratuit

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, question par question, et le tuteur pour poser des questions sur ce sujet.

Voir le corrigé complet, gratuitement

Inscription gratuite en 30 secondes (e-mail, nom d'utilisateur, mot de passe, classe ou profil), sans carte bancaire : arrivée directe sur le corrigé.

Toutes les parties de l'épreuve

Corrigé complet gratuit →