Corrigé Mines-Ponts 2025 Maths I MP-MPI — Une deuxième conséquence (Q20 à Q21) : Un sous-espace de dimension k de R^n où les normes 1 et 2 sont proportionnelles

Q20. Un modèle probabiliste. Munissons l'ensemble fini ${\Omega }_k=\{-1,1{\}}^k$, de cardinal $2^k=n$, de la probabilité uniforme, et posons $X_i(\omega )={\omega }_i$ pour $\omega =({\omega }_1,\dots ,{\omega }_k)$ et $i\in [[1,k]]$. Pour tout $({\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_k)\in \{-1,1{\}}^k$, l'événement $(X_1={\epsilon }_1,\dots ,X_k={\epsilon }_k)$ est le singleton $\{({\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_k)\}$, donc

$$P(X_1={\epsilon }_1,\dots ,X_k={\epsilon }_k)=\frac{1}{2^k}=\prod _{i=1}^{k}P(X_i={\epsilon }_i),$$

puisque $P(X_i={\epsilon }_i)=\frac{2^{k-1}}{2^k}=\frac{1}{2}$ (on fixe une coordonnée, les $k-1$ autres sont libres). Les variables $X_1,\dots ,X_k$ sont donc indépendantes et de loi de Rademacher sur l'espace probabilisé fini ${\Omega }_k$.