Corrigé Mines-Ponts 2025 Maths I MP-MPI — Une inégalité de déviation (Q4 à Q7) : Inégalité de déviation exponentielle pour une somme de Rademacher

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2025, épreuve Maths I MP-MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

$X_{1}, \dots, X_{n}$ sont des variables aléatoires indépendantes sur l'espace fini $Ω$ , toutes de loi de Rademacher. Pour $(c_{1}, \dots, c_{n}) \in R^{n}$ , on note (notation du corrigé) $S = \sum_{i = 1}^{n} c_{i} X_{i}$ et $σ^{2} = \sum_{i = 1}^{n} c_{i}^{2}$ .

Q4. Montrer que $ch (t) \leq e^{t^{2} /2}$ pour tout $t \in R$ .
Q5. Montrer que $E (exp (tS)) \leq exp (\frac{t ^{2}}{2} σ^{2})$ pour tout $t \geq 0$ et tout $(c_{1}, \dots, c_{n})$ .
Q6. En déduire, pour $t \geq 0$ et $x \geq 0$ , que $P (exp (x ∣ S ∣) > e^{t x}) \leq 2 e^{- t x} exp (\frac{x ^{2} σ ^{2}}{2})$ (inégalité de Markov).
Q7. Montrer que, pour $t \geq 0$ et $(c_{1}, \dots, c_{n})$ non nul, $P (∣ S ∣ > t) \leq 2 exp (- \frac{t ^{2}}{2 σ ^{2}})$ .

Corrigé

Q4. Les séries entières de $ch$ et de $exp$ ont un rayon de convergence infini : pour tout $t \in R$ ,

$ch (t) = k = 0 \sum + \infty \frac{t ^{2 k}}{( 2 k )!}, e^{t^{2} /2} = k = 0 \sum + \infty \frac{1}{k !} (\frac{t ^{2}}{2})^{k} = k = 0 \sum + \infty \frac{t ^{2 k}}{2 ^{k} k !} .$

Comparons les coefficients. Pour $k \geq 1$ , en regroupant les facteurs de $(2 k)!$ deux par deux,

$(2 k)! = j = 1 \prod k (2 j - 1) (2 j) \geq j = 1 \prod k (2 j) = 2^{k} k!,$

car $2 j - 1 \geq 1$ ; l'inégalité $(2 k)! \geq 2^{k} k!$ est aussi vraie pour $k = 0$ ( $1 \geq 1$ ). Comme $t^{2 k} \geq 0$ , on a $\frac{t ^{2 k}}{( 2 k )!} \leq \frac{t ^{2 k}}{2 ^{k} k !}$ pour tout $k$ . Les deux séries étant convergentes et à termes positifs, la comparaison terme à terme passe à la somme : $ch (t) \leq e^{t^{2} /2}$ .

Q5. Soit $t \geq 0$ . Par propriété de morphisme de l'exponentielle,

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