Corrigé Mines-Ponts 2025 Maths I MP-MPI — Une première conséquence (Q17 à Q19) : Équivalence des normes Lp sur l'espace engendré par une suite de Rademacher

Une incohérence de l'énoncé, et la lecture adoptée. Le préambule impose que $\Omega$ soit fini. Or un univers fini ne peut pas porter une suite infinie de variables de Rademacher indépendantes : pour tout $m\ge 1$, les $2^m$ événements $(X_0={\epsilon }_0,\dots ,X_{m-1}={\epsilon }_{m-1})$, $({\epsilon }_0,\dots ,{\epsilon }_{m-1})\in \{-1,1{\}}^m$, sont deux à deux disjoints et, par indépendance, chacun a la probabilité $2^{-m}>0$, donc contient au moins un élément de $\Omega$ ; ainsi $\mathrm{card}\Omega \ge 2^m$ pour tout $m$, ce qui est absurde. Nous lisons donc cette partie sur un espace probabilisé $(\Omega ,\mathcal{A},P)$ portant une telle suite (le théorème d'existence de suites de variables indépendantes de lois données en fournit un), et nous remplaçons $L^0(\Omega )$ par l'espace des variables aléatoires réelles ne prenant qu'un nombre fini de valeurs (toujours en confondant variable nulle et variable presque sûrement nulle). C'est bien un espace vectoriel : $\lambda X+\mu Y$ prend ses valeurs dans l'ensemble fini $\{\lambda x+\mu y;x\in X(\Omega ),y\in Y(\Omega )\}$. Les démonstrations de Q1 à Q16 n'ont utilisé que des variables de ce type et les propriétés de l'espérance (linéarité, croissance, transfert, produit de variables indépendantes, inégalité de Markov) : elles restent valables, avec les mêmes constantes ${\alpha }_p,{\beta }_p$, qui ne dépendent que de $p$.