Corrigé Mines-Ponts 2025 Maths I PSI — Partie 4 (Q14 à Q19) : Blocs de Jordan, nilpotents et symétries de polynômes

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2025, épreuve Maths I PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

$N = (n_{i, j}) \in M_{n}$ est définie par $n_{i, j} = 1$ si $j = i + 1$ , $n_{i, j} = 0$ sinon (des $1$ juste au-dessus de la diagonale). Pour $λ \in C^{*}$ , $J_{n} (λ) = λ I_{n} + N$ .

Q14. Si $g \in L (E)$ , $dim E = n$ , vérifie $g^{n} = 0$ et $g^{n - 1} \neq = 0$ , montrer que $g$ a pour matrice $N$ dans une base de $E$ .
Q15. Montrer que $J_{n} (λ)$ est inversible et trouver $N^{'}$ , en fonction de $N$ et $λ$ , tel que $J_{n} (λ)^{- 1} = \frac{1}{λ} I_{n} + N^{'}$ .
Q16. Calculer $(N^{'})^{n}$ et en déduire que $J_{n} (λ)^{- 1}$ est semblable à $J_{n} (\frac{1}{λ})$ .

Sur $C_{n - 1} [X]$ , on définit les endomorphismes $s_{1} (P) = P (- X)$ , $s_{2} (P) = P (1 - X)$ , $g (P) = P (X + 1) - P (X)$ .

Q17. Calculer $s_{1}^{2}$ , $s_{2}^{2}$ , et exprimer $s_{1} \circ s_{2}$ à l'aide de $g$ et de l'identité.
Q18. Pour $P$ non constant, exprimer $de g g (P)$ en fonction de $de g P$ .
Q19. En déduire que $J_{n} (1)$ est un produit de deux matrices de symétrie.

On admet que $J_{n} (- 1)$ est aussi un produit de deux matrices de symétrie.

Corrigé

Q14. Comme $g^{n - 1} \neq = 0$ , il existe $x_{0} \in E$ tel que $g^{n - 1} (x_{0}) \neq = 0$ . Montrons que la famille $(x_{0}, g (x_{0}), \dots, g^{n - 1} (x_{0}))$ est libre. Supposons $\sum_{k = 0}^{n - 1} α_{k} g^{k} (x_{0}) = 0$ avec des $α_{k}$ non tous nuls, et soit $j$ le plus petit indice tel que $α_{j} \neq = 0$ . Appliquons $g^{n - 1 - j}$ :

$0 = k = j \sum n - 1 α_{k} g^{k + n - 1 - j} (x_{0}) = α_{j} g^{n - 1} (x_{0}),$

car pour $k > j$ l'exposant $k + n - 1 - j$ est $⩾ n$ et $g^{n} = 0$ . Comme $g^{n - 1} (x_{0}) \neq = 0$ , $α_{j} = 0$ : contradiction. La famille est libre, de cardinal $n = dim E$ : c'est une base.

Posons $e_{k} = g^{n - k} (x_{0})$ pour $1 ⩽ k ⩽ n$ (donc $e_{1} = g^{n - 1} (x_{0})$ , …, $e_{n} = x_{0}$ ) : c'est la même base, dans l'ordre inverse. Alors $g (e_{1}) = g^{n} (x_{0}) = 0$ et, pour $2 ⩽ k ⩽ n$ , $g (e_{k}) = g^{n - k + 1} (x_{0}) = e_{k - 1}$ . La $k$ -ième colonne de la matrice de $g$ dans $(e_{1}, \dots, e_{n})$ porte donc un unique $1$ , en ligne $k - 1$ ( $k ⩾ 2$ ), la première colonne étant nulle : c'est la matrice $N$ ( $n_{k - 1, k} = 1$ ). Pour $n = 1$ , $g = 0$ et $N = (0)$ .

Ce que le correcteur attend : le choix de $x_{0}$ avec $g^{n - 1} (x_{0}) \neq = 0$ , la preuve de liberté (indice minimal ou application successive de $g^{n - 1}, g^{n - 2}, \dots$ ) et l'ordre des vecteurs, qui place les $1$ au-dessus de la diagonale.

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