Corrigé Mines-Ponts 2025 Maths II MP-MPI — Partie A (Q1 à Q5) : Polynôme réciproque, PGCD et racines stables ; le cas p = ±p_0

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2025, épreuve Maths II MP-MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Notations générales du problème (critère de Schur-Cohn). $n \geq 1$ ; $π (M)$ est le nombre de valeurs propres réelles strictement positives de $M \in M_{n} (R)$ , comptées avec multiplicité ; $σ (f)$ est le nombre de racines réelles de $f$ dans $] - 1; 1 [$ , comptées avec multiplicité ; $f \land g$ est le PGCD (unitaire). Un réel $α$ est une racine stable de $f$ si $α \neq = 0$ et $f (α) = f (α^{- 1}) = 0$ . Si $f = \sum_{k = 0}^{m} a_{k} X^{k}$ est de degré $m$ , son réciproque est $f_{0} = \sum_{k = 0}^{m} a_{m - k} X^{k}$ . On note $U = (10 \dots 0)^{⊤} \in M_{n, 1} (R)$ , $S \in M_{n} (R)$ la matrice de coefficients $S_{i, j} = δ_{i + 1, j}$ , et $J (f) = f_{0} (S)^{⊤} f_{0} (S) - f (S)^{⊤} f (S)$ .

Dans tout le problème, $p = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} X^{k}$ ( $a_{n} \neq = 0$ ) est réel, scindé sur $R$ , de racines $α_{1} \leq \dots \leq α_{n}$ (avec multiplicité).

Q1. Montrer que $p_{0} (x) = x^{n} p (1/ x)$ pour $x \neq = 0$ , puis que $p_{0} = a_{n} \prod_{j = 1}^{n} (1 - α_{j} X)$ .
Q2. Montrer que $p \land p_{0} = 1$ si et seulement si $p$ n'a pas de racine stable.

Pour Q3 à Q5, toutes les racines de $p$ sont stables et simples.

Q3. Justifier l'existence de $λ \in {- 1, 1}$ tel que $p = λ p_{0}$ .
Q4. Avec $h = X p^{'}$ , montrer que $h = n p - λ (p^{'})_{0}$ puis que $h_{0} = λ (n p - X p^{'})$ .
Q5. Vérifier que $p^{'}$ est scindé sur $R$ , montrer que $h \land h_{0} = 1$ , et en déduire que $p^{'}$ n'a pas de racine stable.

Corrigé

Q1. Pour $x \in R^{*}$ , en posant $j = n - k$ dans la somme,

$x^{n} p (1/ x) = k = 0 \sum n a_{k} x^{n - k} = j = 0 \sum n a_{n - j} x^{j} = p_{0} (x) .$

Plus généralement, le même calcul montre que pour tout polynôme $f$ de degré $m$ , $f_{0} (x) = x^{m} f (1/ x)$ pour $x \neq = 0$ ; on s'en resservira.

Comme $p$ est scindé, $p = a_{n} \prod_{j = 1}^{n} (X - α_{j})$ , donc pour $x \neq = 0$

$p_{0} (x) = x^{n} a_{n} j = 1 \prod n (\frac{1}{x} - α_{j}) = a_{n} j = 1 \prod n x (\frac{1}{x} - α_{j}) = a_{n} j = 1 \prod n (1 - α_{j} x) .$

Les deux polynômes $p_{0}$ et $a_{n} \prod_{j = 1}^{n} (1 - α_{j} X)$ coïncident sur l'ensemble infini $R^{*}$ : leur différence a une infinité de racines, elle est nulle. Donc $p_{0} = a_{n} \prod_{j = 1}^{n} (1 - α_{j} X)$ .

Remarque. Le coefficient constant de $p_{0}$ est $a_{n} \neq = 0$ : $p_{0}$ n'est pas nul, mais son degré vaut $n$ moins le nombre de racines nulles de $p$ (les facteurs $1 - α_{j} X$ avec $α_{j} = 0$ valent $1$ ). Ses racines sont les $1/ α_{j}$ pour $α_{j} \neq = 0$ .

Q2. Si $p$ a une racine stable $α$ , alors $α \neq = 0$ , $p (α) = 0$ et, par Q1, $p_{0} (α) = α^{n} p (1/ α) = 0$ . Le polynôme $X - α$ divise $p$ et $p_{0}$ , donc divise leur PGCD : $p \land p_{0} \neq = 1$ .

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