Corrigé Mines-Ponts 2025 Maths II MP-MPI — Partie B (Q6 à Q9) : Liberté de la famille (f_j) par des endomorphismes d'un espace de fractions rationnelles

Q6. On a ${\alpha }_i{\alpha }_k=1$, donc ${\alpha }_i\ne 0$ et ${\alpha }_k=1/{\alpha }_i$. Soit $j\in [[1,n]]$.

• Si $j>i$, le facteur $X-{\alpha }_i$ figure dans le second produit de $f_j$ (indice $i\le j-1$), donc $f_j({\alpha }_i)=0$.
• Si $j\le i$, alors $k>i\ge j$, donc le facteur $1-{\alpha }_{k}X$ figure dans le premier produit de $f_j$ (indice $k\ge j+1$), et il vaut $1-{\alpha }_k{\alpha }_i=0$ en ${\alpha }_i$ : $f_j({\alpha }_i)=0$.

Ainsi ${\alpha }_i$ est racine de chaque $f_j$. Chaque $f_j$ est un produit de $(n-j)+(j-1)=n-1$ facteurs de degré au plus $1$ : $f_j\in {\mathbb{R}}_{n-1}[X]$. Donc tous les $f_j$ appartiennent au sous-espace

$$F=\{(X-{\alpha }_i)Q:Q\in {\mathbb{R}}_{n-2}[X]\}$$

des polynômes de ${\mathbb{R}}_{n-1}[X]$ divisibles par $X-{\alpha }_i$. L'application $Q\mapsto (X-{\alpha }_i)Q$ est linéaire et injective de ${\mathbb{R}}_{n-2}[X]$ sur $F$, donc $\dim F=n-1$ (ici $n\ge 2$, puisque $i<k$). La famille $(f_1,\dots ,f_n)$ compte $n$ vecteurs dans un espace de dimension $n-1$ : elle est liée.

Q7. Préliminaire : $P_j(f)$ a un sens. Soit $f\in E$, écrite $f=A/B$ avec $A\in \mathbb{R}[X]$ et $B$ produit de facteurs $1-{\alpha }_{i}X$. Si l'on avait $B({\alpha }_j)=0$, il existerait $i$ avec $1-{\alpha }_i{\alpha }_j=0$ ; alors ${\alpha }_j\ne 0$, $p({\alpha }_j)=0$ et $p(1/{\alpha }_j)=p({\alpha }_i)=0$ : ${\alpha }_j$ serait une racine stable de $p$, exclu. Donc $B({\alpha }_j)\ne 0$, ${\alpha }_j$ n'est pas un pôle de $f$ et $f({\alpha }_j)=A({\alpha }_j)/B({\alpha }_j)$ est bien défini.