Corrigé Mines-Ponts 2025 Maths II MP-MPI — Partie C (Q10 à Q14) : Factorisation J(p) = V D V^T par télescopage ; non-inversibilité en présence d'une racine stable

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2025, épreuve Maths II MP-MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Notations des parties A et B : $S_{i, j} = δ_{i + 1, j}$ , $U = (10 \dots 0)^{⊤}$ , $J (p) = p_{0} (S)^{⊤} p_{0} (S) - p (S)^{⊤} p (S)$ , et les polynômes $f_{1}, \dots, f_{n}$ de la partie B. Aucune hypothèse sur les racines de $p$ dans cette partie. Pour $j \in [[1, n]]$ , $B_{j} = S - α_{j} I_{n}$ et $C_{j} = I_{n} - α_{j} S$ .

Q10. Montrer que $((S^{⊤})^{i} U)_{0 \leq i \leq n - 1}$ est une base de $M_{n, 1} (R)$ .
Q11. Montrer que $J (p) = \sum_{j = 1}^{n} f_{j} (S)^{⊤} (C_{j}^{⊤} C_{j} - B_{j}^{⊤} B_{j}) f_{j} (S)$ .
Q12. Montrer que $C_{j}^{⊤} C_{j} - B_{j}^{⊤} B_{j} = (1 - α_{j}^{2}) U U^{⊤}$ .
Q13. Avec $D = Diag ((1 - α_{j}^{2})_{1 \leq j \leq n})$ et $V \in M_{n} (R)$ de $j$ -ème colonne $V_{j} = f_{j} (S^{⊤}) U$ , montrer que $J (p) = V D V^{⊤}$ .
Q14. En déduire, à l'aide de Q6, que si $p$ a une racine stable, $J (p)$ n'est pas inversible.

Corrigé

Q10. Notons $(e_{1}, \dots, e_{n})$ la base canonique de $M_{n, 1} (R)$ . Le coefficient $(S^{⊤})_{i, j} = S_{j, i} = δ_{j + 1, i}$ vaut $1$ si et seulement si $i = j + 1$ : la $j$ -ème colonne de $S^{⊤}$ est $e_{j + 1}$ pour $j \leq n - 1$ , et la dernière est nulle. Donc $S^{⊤} e_{j} = e_{j + 1}$ ( $1 \leq j \leq n - 1$ ) et $S^{⊤} e_{n} = 0$ . Comme $U = e_{1}$ , une récurrence immédiate donne $(S^{⊤})^{i} U = e_{i + 1}$ pour $0 \leq i \leq n - 1$ . La famille $((S^{⊤})^{i} U)_{0 \leq i \leq n - 1}$ est la base canonique : c'est une base de $M_{n, 1} (R)$ .

Conséquence utile. Pour $q = \sum_{i = 0}^{n - 1} q_{i} X^{i} \in R_{n - 1} [X]$ , $q (S^{⊤}) U = \sum_{i} q_{i} (S^{⊤})^{i} U = \sum_{i} q_{i} e_{i + 1}$ est la colonne des coefficients de $q$ . L'application $Φ : q \mapsto q (S^{⊤}) U$ est donc un isomorphisme de $R_{n - 1} [X]$ sur $M_{n, 1} (R)$ .

Q11. Rappelons que $Q \mapsto Q (S)$ est un morphisme d'algèbres : $(QR) (S) = Q (S) R (S)$ , et deux polynômes en $S$ commutent. Avec $C_{j} = (1 - α_{j} X) (S)$ et $B_{j} = (X - α_{j}) (S)$ , posons

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