Corrigé Mines-Ponts 2025 Maths II MP-MPI — Partie D (Q15 à Q18) : Loi d'inertie et critère de Schur-Cohn : sigma(p) = pi(J(p))

${\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})$ est muni de sa structure euclidienne canonique. Pour $M\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, un sous-espace $F$ de ${\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})$ vérifie la condition $({\mathcal{C}}_M)$ si $X^{\top }MX>0$ pour tout $X\in F\setminus \{0\}$ ; $d(M)$ est la dimension maximale d'un tel sous-espace. $\pi (M)$ : nombre de valeurs propres strictement positives (avec multiplicité) ; $\sigma (p)$ : nombre de racines de $p$ dans $]-1;1[$ ; $J(p)=VD{V}^{\top }$ (Q13).

Q15. Si $A=P^{\top }BP$ avec $P\in {\mathrm{GL}}_n(\mathbb{R})$, montrer que $d(B)\ge d(A)$, puis $d(B)=d(A)$.
Q16. Pour $M\in {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$, construire un sous-espace $F_M$ de dimension $\pi (M)$ vérifiant $({\mathcal{C}}_M)$.
Q17. Montrer, par l'absurde, que $\pi (M)=d(M)$ pour $M\in {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$ (si $G$ vérifie $({\mathcal{C}}_M)$ avec $\dim G>\pi (M)$, montrer $\dim (F_M^{\perp }\cap G)\ge 1$).
Q18. Si $J(p)$ est inversible, montrer que $p$ n'a aucune racine stable et que $\sigma (p)=\pi (J(p))$.