Corrigé Mines-Ponts 2025 Maths II MP-MPI — Partie E (Q19 à Q20) : J(p) inversible si et seulement si p n'a aucune racine stable

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2025, épreuve Maths II MP-MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Notations des parties précédentes : $J (p) = V D V^{⊤}$ avec $D = Diag ((1 - α_{j}^{2})_{j})$ et $V_{j} = f_{j} (S^{⊤}) U$ (Q13) ; $(f_{1}, \dots, f_{n})$ est libre si $p$ n'a pas de racine stable (Q9) ; $((S^{⊤})^{i} U)_{0 \leq i \leq n - 1}$ est une base (Q10).

Q19. Si $p$ n'a pas de racine stable et si $J (p)$ n'est pas inversible, montrer, à l'aide de Q9 et Q13, qu'il existe $q \in R [X]$ non nul, de degré au plus $n - 1$ , tel que $q (S^{⊤}) U = 0_{n, 1}$ .
Q20. En déduire que $J (p)$ est inversible si et seulement si $p$ n'a aucune racine stable.

Corrigé

Q19. Supposons que $p$ n'a pas de racine stable et que $J (p)$ n'est pas inversible.

$D$ est inversible. Si l'on avait $α_{j} = \pm 1$ pour un $j$ , alors $α_{j} \neq = 0$ et $1/ α_{j} = α_{j}$ , donc $p (α_{j}) = p (1/ α_{j}) = 0$ : $α_{j}$ serait une racine stable. Ainsi $1 - α_{j}^{2} \neq = 0$ pour tout $j$ et $det D = \prod_{j} (1 - α_{j}^{2}) \neq = 0$ .

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